从本质出发理解掌握三大坐标系下的三大方程（三）--旋度公式

对于很多数学和工程问题，我们常常需要使用到梯度、散度和旋度方程，而有的时候，在使用这些方程时，我们却对它们其中的数学、物理意义不甚清楚，结果便是看着很多在此基础上建立的公式而一头雾水。这篇文章便从这三大方程的本质入手，推导它们在三大经典坐标系下的形式，揭露其”庐山真面目“！

文章目录

• 旋度公式
• • 旋度的理解
  • 笛卡尔坐标系下的旋度公式
  • 柱面坐标系下的旋度公式
  • 球面坐标系下的旋度公式
  • 感谢阅读！
  • 参考文献

旋度公式

旋度的理解

​ 旋度，单从字面上不难看出，它是个描述旋转剧烈程度的量，大自然中有很多旋转的现象，例如水的漩涡、地球的自转等，因此我们需要有个来描述这些旋转现象剧烈程度的"工具"，于是，旋度就被先辈们提出来了。那么，接下来的问题是，我们该如何定义某个物理量（必须是向量，理由见下文）的旋度呢？这便是我们接下来需要讨论的问题。

​ 我相信，在阅读本篇文章的读者应该对环量不会陌生（如果您现在不清楚环量的概念，或者已经忘记环量的概念，笔者强烈建议您先去学习环量的概念后再阅读此文），所谓环量，直白地讲就是对空间中一条封闭的曲线做第二类曲线积分，环量代表着某一物理量在该曲线上的集度，因为是第二类曲线积分，所以很明显被积的物理量得是向量。举个简单的例子，你晨跑时绕着操场跑了一圈，这里，操场便能被看成一条封闭曲线，而你绕着跑一圈的过程中，速度在操场上的投影绕操场的积分就是速度环量。这个绕操场跑的事件，我们可以看成是绕操场某一中心点旋转的过程，想象一下，如果有两个人在同一操场上的同一条跑道上用时不同地跑完了一圈，谁的速度环量大呢？答案很明显，那个用时短的人速度环量大，因为积分的路径不变，速度提高了，速度积分自然也就增大了。我们也可以想象到跑的快的人绕操场的"旋转"越快。从这个例子出发，我们很自然地能类推出在其它一些物理现象中，如果积分路径相同，环量大的自然旋转越剧烈。那么，如果我们需要描述空间中的某个点所在区域上的旋转剧烈程度呢？很简单，点可以看成是个面积无穷小的曲面，我们只需要把积分曲线无限缩小，最终趋于一个点，我们把这时获得的物理向量的环量除以该封闭积分曲线所包围曲面的面积（无穷小），定义为某一物理向量在该点处的环量密度，也就是旋度，旋度的大小就可以代表出该点所在区域的旋转剧烈程度。

图1.绕操场跑圈

笛卡尔坐标系下的旋度公式

​ 我们现在已经知道了旋度是咋计算的，接下来就来推导一下它在三大坐标系下的公式吧。老规矩，先来推导最经典的笛卡尔坐标系下的旋度公式。

图2.笛卡尔坐标系

​ 上图中，在D点处有个 ω \boldsymbol \omega ω的角速度，我们知道，角速度也是个矢量，所以我们可以将它分解到 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z轴上，我们先来看绕 x x x轴的旋转。假设该空间中有个物理向量 A \boldsymbol A A，其绕DCGH的环量我们分开来看，DC上，我们发现物理向量 A \boldsymbol A A随着y的改变也是变化的，但因为我们现在已经把DCGH缩小到无限小，于是我们可以认为物理向量 A \boldsymbol A A沿着DC是单调变化的，我们可以得到以下不等式：

A y ( x , y , z ) d y ⩽ ∫ D C A y d y ⩽ A y ( x , y + d y , z ) d y A_y(x,y,z)dy \leqslant \int_{D}^{C}A_ydy\leqslant A_y(x,y+dy,z)dy Ay​(x,y,z)dy⩽∫DC​Ay​dy⩽Ay​(x,y+dy,z)dy

根据夹逼准则，因为 d y dy dy趋于无穷小，所以最终得

∫ D C A y d y = A y ( D 点 处 的 值 ) d y = A y ( x , y , z ) d y \int_{D}^{C}A_ydy=A_y(D点处的值)dy=A_y(x,y,z)dy ∫DC​Ay​dy=Ay​(D点处的值)dy=Ay​(x,y,z)dy

同理，我们来算CG上（仅z变化）的积分：

∫ C G A z d z = A z ( C 点 处 的 值 ) d z = A z ( x , y + d y , z ) d z \int_{C}^{G}A_zdz=A_z(C点处的值)dz=A_z(x,y+dy,z)dz ∫CG​Az​dz=Az​(C点处的值)dz=Az​(x,y+dy,z)dz

GH上（仅y变化）的积分：

∫ G H A y d y = − A y ( H 点 处 的 值 ) d y = − A y ( x , y , z + d z ) d y \int_{G}^{H}A_ydy=-A_y(H点处的值)dy=-A_y(x,y,z+dz)dy ∫GH​Ay​dy=−Ay​(H点处的值)dy=−Ay​(x,y,z+dz)dy

HD上（仅z变化）的积分：

∫ H D A z d z = − A z ( D 点 处 的 值 ) d z = − A z ( x , y , z ) d z \int_{H}^{D}A_zdz=-A_z(D点处的值)dz=-A_z(x,y,z)dz ∫HD​Az​dz=−Az​(D点处的值)dz=−Az​(x,y,z)dz

所以， A \boldsymbol A A在DCGH上的积分为：

∮ D C H G A ⋅ d l = A y ( x , y , z ) d y + A z ( x , y + d y , z ) d z − A y ( x , y , z + d z ) d y − A z ( x , y , z ) d z \oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l=A_y(x,y,z)dy+A_z(x,y+dy,z)dz-A_y(x,y,z+dz)dy-A_z(x,y,z)dz ∮DCHG​A⋅dl=Ay​(x,y,z)dy+Az​(x,y+dy,z)dz−Ay​(x,y,z+dz)dy−Az​(x,y,z)dz

并且易得DCHG的面积为 d y d z dydz dydz，我们将式6除以这个面积即可得到绕 x x x轴旋转引起的旋度：

∮ D C H G A ⋅ d l d y d z = d A z d y − d A y d z \frac{\oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dydz}=\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz} dydz∮DCHG​A⋅dl​=dydAz​​−dzdAy​​

同理我们可以得到绕y轴旋转引起的旋度：

∮ D H E A A ⋅ d l d z d x = d A x d z − d A z d x \frac{\oint_{DHEA}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dzdx}=\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx} dzdx∮DHEA​A⋅dl​=dzdAx​​−dxdAz​​

绕z轴旋转引起的旋度：

∮ D A B C A ⋅ d l d x d y = d A y d x − d A x d y \frac{\oint_{DABC}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dxdy}=\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy} dxdy∮DABC​A⋅dl​=dxdAy​​−dydAx​​

将式7，8，9相加起来，我们即得到D点处的旋度：

c u r l    A = ( d A z d y − d A y d z ) i + ( d A x d z − d A z d x ) j + ( d A y d x − d A x d y ) k curl\;\boldsymbol A=(\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz})\boldsymbol i+(\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx})\boldsymbol j+(\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy})\boldsymbol k curlA=(dydAz​​−dzdAy​​)i+(dzdAx​​−dxdAz​​)j+(dxdAy​​−dydAx​​)k

柱面坐标系下的旋度公式

图3. 柱面坐标系

​ 柱面坐标系下旋度公式的推导过程和笛卡尔坐标系下的旋度公式相同。我们同样来考察D点处的旋度，将角速度分解到 e ρ 、 e ϕ 、 e z \boldsymbol e_\rho、\boldsymbol e_\phi、\boldsymbol e_z eρ​、eϕ​、ez​方向上，这里我们以推导绕 ρ \rho ρ轴旋转引起的旋度为例：

沿DC上的积分：

∫ D C A ϕ ρ d ϕ = A ϕ ( D 点 处 的 值 ) ρ d ϕ = A ϕ ( ρ , ϕ , z ) ρ d ϕ \int_{D}^{C}A_\phi \rho d\phi=A_\phi(D点处的值)\rho d\phi=A_\phi(\rho,\phi,z) \rho d\phi ∫DC​Aϕ​ρdϕ=Aϕ​(D点处的值)ρdϕ=Aϕ​(ρ,ϕ,z)ρdϕ

沿CG上的积分：

∫ C G A z d z = A z ( C 点 处 的 值 ) d z = A z ( ρ , ϕ + d ϕ , z ) d z \int_{C}^{G}A_zdz=A_z(C点处的值)dz=A_z(\rho,\phi+d\phi,z)dz ∫CG​Az​dz=Az​(C点处的值)dz=Az​(ρ,ϕ+dϕ,z)dz

沿GH上的积分：

∫ G H A ϕ ρ d ϕ = − A ϕ ( H 点 处 的 值 ) ρ d ϕ = − A ϕ ( ρ , ϕ , z + d z ) ρ d ϕ \int_{G}^{H}A_\phi \rho d\phi=-A_\phi(H点处的值)\rho d\phi=-A_\phi(\rho,\phi,z+dz) \rho d\phi ∫GH​Aϕ​ρdϕ=−Aϕ​(H点处的值)ρdϕ=−Aϕ​(ρ,ϕ,z+dz)ρdϕ

沿HD上的积分：

∫ H D A z d z = − A z ( D 点 处 的 值 ) d z = − A z ( ρ , ϕ , z ) d z \int_{H}^{D}A_zdz=-A_z(D点处的值)dz=-A_z(\rho,\phi,z)dz ∫HD​Az​dz=−Az​(D点处的值)dz=−Az​(ρ,ϕ,z)dz

又因为DCHG围成的面积等于 ρ d ϕ d z \rho d\phi dz ρdϕdz，于是得绕 ρ \rho ρ轴旋转引起的旋度为：

∮ D C H G A ⋅ d l ρ d ϕ d z = d A z ρ d ϕ − d A ϕ d z \frac{\oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{\rho d\phi dz}=\frac{dA_z}{\rho d\phi}-\frac{dA_\phi}{dz} ρdϕdz∮DCHG​A⋅dl​=ρdϕdAz​​−dzdAϕ​​

同理，绕 ϕ \phi ϕ轴引起的旋度为：

∮ D H E A A ⋅ d l d z d ρ = d A ρ d z − d A z d ρ \frac{\oint_{DHEA}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dz d\rho}=\frac{dA_\rho}{dz}-\frac{dA_z}{d\rho} dzdρ∮DHEA​A⋅dl​=dzdAρ​​−dρdAz​​

绕z轴引起的旋度为:

∮ D A B C A ⋅ d l ρ d ρ d ϕ = d ( ρ A ϕ ) ρ d ρ − d A ρ ρ d ϕ \frac{\oint_{DABC}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{\rho d\rho d\phi}=\frac{d(\rho A_\phi)}{\rho d\rho}-\frac{dA_\rho}{\rho d\phi} ρdρdϕ∮DABC​A⋅dl​=ρdρd(ρAϕ​)​−ρdϕdAρ​​

最终我们得到柱面坐标系下的D点处的旋度公式：

c u r l    A = ( d A z ρ d ϕ − d A ϕ d z ) e ρ + ( d A ρ d z − d A z d ρ ) e ϕ + ( d ( ρ A ϕ ) ρ d ρ − d A r h o ρ d ϕ ) e z curl\; \boldsymbol A=(\frac{dA_z}{\rho d\phi}-\frac{dA_\phi}{dz})\boldsymbol e_\rho+(\frac{dA_\rho}{dz}-\frac{dA_z}{d\rho})\boldsymbol e_\phi+(\frac{d(\rho A_\phi)}{\rho d\rho}-\frac{dA_rho}{\rho d\phi})\boldsymbol e_z curlA=(ρdϕdAz​​−dzdAϕ​​)eρ​+(dzdAρ​​−dρdAz​​)eϕ​+(ρdρd(ρAϕ​)​−ρdϕdAr​ho​)ez​

球面坐标系下的旋度公式

​ 有了笛卡尔坐标系和柱面坐标系的推导经验，我相信你现在可以推导球面坐标系下的旋度公式了，拿出纸笔动动手吧，如果在推导过程中有啥问题，可以在评论区留言哦！这里我们直接给出球面坐标系下的旋度公式，推导完成后你可以校对一下哦😀：

图4. 球面坐标系

球面坐标系下的旋度公式为：

感谢阅读！

​ 与诸君共前行！

参考文献

1. Del in cylindrical and spherical coordinates - 维基百科(https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates)
2. 高等数学（西工大版本）