畢達哥拉斯
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編者注
畢達哥拉斯（約2500年前）是古希臘著名的數學家和哲學家。
關于畢達哥拉斯，有一個他在鐵匠鋪裡叫錘子的故事，進而發現了聲音和諧的"秘密"，這個故事有鼻子和眼睛，傳播得很廣，甚至出現在老師的教育訓練材料和試題中。在"科學"的外衣下，人們似乎隻是簡單地傳播和接受，而沒有質疑故事的真實性和科學性。
作者從音樂的和諧之美出發，逐層分析實體和音樂知識，指出畢達哥拉斯的故事其實是錯誤的。最後，作者讨論了科學工作者在進行科學交流時應如何避免科學錯誤。
編寫|吳金源
|王玉丹
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關于畢達哥拉斯有一個衆所周知的故事：有一天，畢達哥拉斯經過一家鐵匠鋪，聽到錘子敲擊鐵鍬的聲音，聽到三種和聲：四度、五度和八度。他推測，是錘子重量的差異導緻了聲音的差異，并通過稱量不同錘子的重量來證明這種關系。他發現和諧而愉快的敲擊聲是由重達12，9，8和6磅的錘子組合而成的。
有文章甚至更進一步，說畢達哥拉斯忍不住興奮地喊道："啊！阿波羅的和弦總是在振動！"
除了這個故事，下面還有一個印刷品。
由 未知 - 本圖像來自高盧數字圖書館，可在數字ID bpt6k58171q.f36，公有領域|wikimedia.org
不幸的是，雖然這個故事在文學作品中很生動，但它在科學上是錯誤的，應該是一個傳說。
遺憾的是，無論是在中文還是英文網站上，懷疑這個傳說的文章數量都很少，大部分文章被接受和傳播時沒有猜疑，随便搜尋一下就可以找到十幾篇文章，主題包括：數學家畢達哥拉斯、數學之父畢達哥拉斯希臘數學作為自由學術的典範，和諧概念的含義， 古希臘數值的秘密，科學家的故事，從數學中探索音樂之美，感受數學之美，八卦數學與音樂，魅力數學，音樂數學，畢達哥拉斯弦樂實驗中的數學原理在節奏，八年制的音樂理論學習，九年義務教育沒有系統地教你一種能力，數學背後的音樂， 數學轉化為宗教、原創常識、音樂冷知識、好音樂等等。内容涵蓋科學史專家論文、經典課程教學筆記、數學通俗書籍、音樂知識視訊、科普文章等，有的甚至通過了一級名校教師的科學控制。
另外，我還看到，至少有兩篇小說思想，視角獨特，其他内容都是非常好的書，其中蘊含着這個傳說，可以說是一鍋湯。不僅如此，這個故事的結尾還出現在國小數學老師的教育訓練教材中，成為一些教育訓練機構的考試題目，甚至成為市民科學素質科普知識題。
事實上，至少從文森佐·加利利（伽利略·伽利利的父親）開始，很多人都對這個傳說提出質疑，但不幸的是，這些年來，已經有很多人相信了。有的高中理科老師甚至知道傳說不是真的，但仍然認為這是一個好的教學故事。是以，作者覺得有必要寫一篇文章來澄清科學中的傳說是錯誤的。
為此，我們首先讨論，音樂的和諧是正在發生的事情。
<音樂的和諧發生了什麼 > h1 類""pgc-h-right-arrow"data-track"</h1>
音樂是和諧還是好聽是主觀感覺，但我們可以通過現有的聲學原理來探索這種主觀感覺背後的客觀原因。
首先，我從移動應用商店下載下傳了一個應用程式，該應用程式允許我以不同的頻率播放正弦波。（讀者可以使用關鍵字振蕩器搜尋移動應用程式商店，并獲得各種類似的免費應用程式。）
應用程式的螢幕截圖
在下面的視訊中，我們播放220、330、440、550、660和880 Hz的正弦波，然後一起播放440、550、660和880 Hz的正弦波，以聆聽是否有和諧。
這些音調的頻率都是110 Hz的整數，對應于現代音樂中的音符，如下所示：
為了友善不熟悉音樂的讀者，我們将簡要介紹音符，頻率和點名之間的關系。現代鋼琴和大多數音樂團體使用440 Hz作為音符A（有時标記為A4）的頻率參考，其他音符的頻率按比例生成。我們平時唱歌的時候，任何音符都可以唱成"唱"，比如在A音上把唱A當成"Ting"，"Ting"的頻率加倍，唱出來或者"Ting"隻有八度高"Ting"。通過相同的頻率減半，它減少了八度，而音符和标題保持不變。
如果音符的頻率比接近3：2，則該音符聽起來像"滴答聲"，例如上表中的330和660 Hz（分别為220和440 Hz）。如果一個音符的頻率接近5：4到"Ting"的頻率比，那麼這個音符聽起來像"咪咪"，比如上面的550赫茲（440赫茲）。
在視訊中，我們将440、550、660、880 Hz的正弦波一起演奏，這一系列的音符是許多音樂作品中使用的和弦，是頻率的非常和諧宜人的組合。
為什麼這幾個整數頻率關系的聲音聚集在一起，人們感覺很好，或者至少不難聽？确切的原因尚不清楚，但我們可以猜測的一個原因可能是，從自然界中感覺是司空見慣的。事實上，在自然界中存在這樣的頻率組合在一起的情況，例如，在牛悠揚的長音"Yi---"的聲音中，有一個基頻（基音的頻率，決定了整個音的高音）和整數倍頻程2，3，4的分量， 5、6等。同樣，如果我們顯示聲音并拉出一個長聲音"啊---"，我們将得到下圖所示的頻譜。
圖中的水準坐标是頻率，縱坐标是每個頻率分量的強度。頻譜中相等距離的峰值是我們聲音中包含的基本頻率及其整數乘數分量。
與世界上其他嘈雜的聲音相比，像牛的叫聲一樣的單一音高穩定，持續的聲音在刺激人體神經系統方面應該相對溫和，是以大多數人不會感到難過。
回到音樂中，當幾個聲音的頻率之間存在簡單的整數關系時，聲音是組合在一起的，大多數人聽起來都很和諧。
< h1級"pgc-h-arrow right-right"data-track""158">畢達哥拉斯的傳奇問題</h1>
在畢達哥拉斯和鐵匠鋪和錘子的傳說中（包括上面插入的印刷品），有數字16，12，9，8，6，4等，如果它們指的是頻率的相對值，那就好了。這些數字之間有一個簡單的整數比：16/12、12/9、8/6、4/3，前面提到的440和330 Hz是頻率比，組合的聲音聽起來非常和諧。
如果這些數字指的是字元串的長度，那麼它也是有道理的。因為對于一根弦來說，在張力恒定的情況下，它的振動頻率與長度成反比，這些長度變成了弦的簡單整數比，振動頻率也是簡單的整數比，也是和諧的。類似情況如右下角的印刷圖，這些數字是指直管儀表的長度，與直管儀表的氣柱振動頻率和長度反比，這些長度變成簡單的整數比的直管，其振動頻率也是簡單的整數比，沒有問題。
問題是，在這個圖例和印刷品的前三張圖檔中，這些數字指的是錘子的重量，時鐘或杯子的重量以及琴弦的張力，盡管與物體的振動頻率有關，但并不成比例或成反比。是以，當這些參數具有簡單的整數比關系時，對應物體的振動頻率不是簡單的整數比，聲音就不會和諧。讓我們詳細看幾個例子。
< h1級"pgc-h-arrow-right"資料軌道""160">琴弦的張力和振動頻率</h1>
讓我們從分析一個更簡單的例子開始，在印刷品中的左下角圖像描繪了畢達哥拉斯使用琴弦，弦用不同重量的重量收緊，琴弦的張力等于重物的重量。
弦的振動頻率由以下公式給出，該公式涉及弦L的長度，弦的張力T和弦的厚度（即機關長度的品質，希臘字母μ公式中）。
不難看出，當其他條件固定時，琴弦振動的頻率和長度成反比，琴弦越短，聲音越尖銳。
雖然琴弦的振動頻率也與張力T有關，但琴弦越緊，弦越鋒利，它們之間就有一個平方根。是以，即使兩根弦的張力之間存在簡單的整數比，它們的振動頻率也不是簡單的整數比。
我們用兩個 16 和 12 個機關權重的字元串指定了它。當琴弦的厚度和長度相同時，較大琴弦振動頻率的張力比比較高，兩根琴弦的張力比是簡單的整數比（16/12×4/3），版畫的作者可能期望這兩根弦的頻率也是這個比值，但實際上并非如此。這兩根弦的振動頻率比是（4/3）的平方根，即：sqrt（4/3）x 1.1547，不是簡單的整數比，是以兩個頻率的聲音組合不和諧。
如果張力為12的琴弦以440赫茲的頻率振動，則張力為16的琴弦以440x1.1547 x 508赫茲的頻率振動，鋼琴上根本沒有這樣的音符，其頻率在B鍵和C鍵之間的"接縫"中。如果你把440 Hz唱成"Come"，508 Hz聽起來有點像"Come"，實際上大約是"Come"的一半高度。我用手機生成了兩個頻率，是以您可以在下面的視訊中收聽并比較它們。
<錘子<h1級"pgc-h-箭頭右"資料軌道">"161"的重量和振動頻率</h1>
金屬固體物體被刺激振動并發出聲音。通常，一個對象中存在多個振動模式，每個模式具有不同的頻率。一般來說，這些振動模式的振動頻率不是簡單地與傳奇錘子的重量（或體積）成正比或成反比。是以，傳說"和諧愉快的敲擊是由重達12，9，8和6磅的錘子組合制成的"，這種情況很少發生。
如果我們要人為地期望這種情況發生：使振動模式的頻率與錘子的重量成正比或成反比，我們需要設計錘子的形狀，例如錘子變成圓柱體，它看起來更像是鋼釺焊或金箍棒，其中一些與其長度成反比。如果畢達哥拉斯拿着這根金箍棒去鐵匠鋪，他有可能通過稱重來識别和諧背後的數字原因，但鐵匠們可能會累死。而這種振動模式必須沿杆的軸線進行刺激，如果敲擊，就會刺激橫向振動模式，其頻率不再與長度成反比，而是與長度成反比的平方。
如果不限制錘子的三維尺寸，甚至可能會出現大錘頻率低于小錘子的情況，在某些情況下，錘子比小錘子更頻繁。這使得通過權衡不同錘子的重量來識别聲音和諧背後的定量關系的可能性更小。
< h1級""pgc-h-right-arrow"資料軌道""162">關于鐘表和水杯</h1>
印刷品的右上方圖像顯示了幾個時鐘，這是一個值得談論的話題。
在中國，已知最早的時鐘出土于湖北省葉家山古墓中，可追溯到3000多年前的西周時代早期。
與國家葉家山墓葬發掘現場|圖檔：hubei.sinaimg.cn
而2500多年前，曾厚B鐘，更是璀璨奪目。曾後B鐘在每個十度中已經有一個完整的十二音，可以旋轉宮來調諧（由于宮音的位置在十二定律的偏移引起調音轉換）。
戰國曾厚B鐘|圖檔：wikipedia.org
時鐘是用青銅鑄造的，鑄造後，需要模制以獲得所需的音高。根據曾厚的題詞，考古學家已經證明，調音是"弦法則"。換句話說，古代工匠使用琴弦的長度來确定兩個音符的頻率比。
是以，古人應該首先通過聲樂、管弦樂和弦樂器等，老師自然而然地，逐漸了解音符之間的節奏和和諧關系，然後才有可能産生一個時鐘，而不是相反。
印花中還有一個水杯，杯子裡的水質确實會影響振動的頻率，但這種效果不是簡單的成正比或成反比的。如果将杯子簡化為簡單的共振（實體學中特定的重複移動品質，例如懸挂在彈簧上的品質塊的振動），則振動的頻率與品質的平方根成反比。正如我們之前所讨論的，這樣的平方根關系會破壞一個簡單的整數比，進而無法産生和諧的頻率比。
< >一個好的教學故事<h1類"pgc-h-right-arrow"資料軌道？164"?</h1>
從前面的分析中，我們已經知道畢達哥拉斯的傳說在科學上是站不住腳的。這個故事和版畫出現在畢達哥拉斯死後至少幾百年，盡管寫它的人試圖讓它與當時的常識保持一緻，但如果常識沒有出錯，我們就不需要伽利略，牛頓，愛因斯坦和楊振甯。
曆史上很多傳說都不是基于曆史事實的，對于非曆史的傳說，不需要一般地排除，而應該具體分析具體問題。
有些傳說，雖然不是基于曆史事實，但本身并沒有科學上的錯誤，這個傳說可以作為教學故事。例如，伽利略把球扔下了比薩斜塔，牛頓首先被蘋果擊中。
其他人在面對宗教神話時以自己的方式出現，而不是科學故事，不會誤導觀衆。比如女婿，亞當的肋骨形狀夏娃，芝麻開門等等。
有些謠言說存在科學錯誤，但面對科學故事的傳播，這是最成問題的。這些傳說包括愛迪生的母親拯救，以及畢達哥拉斯的故事，畢達哥拉斯在鐵匠鋪裡叫錘子。我希望，在今後介紹這個故事時，我們至少應該聲明，為了避免進一步傳播誤導性資訊，它在科學上是不正确的。
另外，作者還看到了這個傳說的一些修改版本，想必修改者也意識到錘子的重量不能得到聲音的和諧，是以修改到畢達哥拉斯從鐵的節奏中獲得和諧的靈感，然後回家在球場上找到和諧等等。筆者沒有在其他地方看到過這種觀察的鐵節奏，這種說法應該是近年來的一些附庸。
另一個版本說：畢達哥拉斯聽到不同重量的鐵塊的不同音調，受到啟發，回家繼續對琴弦進行實驗，發現同一根弦在不同重量（即不同的張力）下，會發出不同的音高 如果重量比是2：1，音高差正好是八度，兩者的承重比是3：2， 節距為5度，承重比為4：3，節距差為4度。這個版本用另一個科學錯誤取代了原始版本：正如我們前面提到的，琴弦的張力和頻率之間存在平方根關系，而不是簡單的正反比關系。例如，當張力比為2：1時，頻率比為（根數2：1，即1.414：1，在這種情況下，螺距差不是八度。
<其他版本的故事>h1類"pgc-h-right-arrow"資料軌道"：黃金分割比率</h1>
畢達哥拉斯也有鐵匠傳說的一個版本，說在他聽到鐵的聲音和諧地演奏（或節奏優美）之後，他發現了一個金色的分裂比例。這種說法也沒有可信的起源，至少研究人員重複的許多傳說都沒有提到黃金分割比例。
音樂中不同音符的和諧源于它們的頻率之比是一個簡單的整數比，這與黃金分割無關。如果我們故意生成兩個具有黃金分割比（1.618 s 1/0.618）的頻率聲音，那麼組合起來就不好了。例如，如果第一個音調的頻率設定為 440 Hz，即 A 音調的"T-ting"，則第二個音調的頻率為 440 x 1.618 x 712 Hz。這種聲音在鋼琴鍵盤上并不存在，在兩個鍵的"縫合"中，聽起來有點像"是"，但比"la"低。我們使用手機生成這兩個頻率的正弦波，是以您可以在下面的視訊中收聽它們并進行比較。
<如何避免科普内容中的科學錯誤>h1類，"pgc-h-right-arrow"資料跟蹤"？166"？</h1>
科學内容的準确性是科學傳播文章的生存之本，現在科普文章往往在網際網路上來回轉載，有時被其他作者參考重寫，甚至直接複制粘貼。是以，一篇文章在不經意間出錯，往往會造成"廣泛"尴尬的局面。畢達哥拉斯傳說的傳播者，其中許多人是熱情的科普作家，都犯了錯誤，其他熱情的作家花了很多時間寫文章指出錯誤并澄清相關的科學概念。
作者自己的文章也有過錯，更多的是所謂的"差點失誤"，也就是說，幾乎是錯的，但幸好在發表之前就被糾正了。人不是聖人永遠都做不到，寫文章的錯誤很難絕對避免，關鍵是如何盡量減少錯誤。對此，筆者願與您分享他們的觀點。
首先，在網際網路上發現的東西必須了解自己的消化，才能虛假地儲存真相。我們經常有一種潛意識，即我們在網際網路上發現的東西是正确的。這就要求我們用一種明顯的意識來克服這種潛意識，時刻警惕科學問題的正确性，對自己的文章真正了解他們所了解的東西，有一個要說的。
此外，在寫作心态上，應盡量減少非科學成分。科普工作是一件好事，其中利他主義的成分遠遠超過了自身利益的成分，值得而且應該做得很好。但如果科學傳播的工作太神聖，把自己想象成一個偷火的啟蒙者，把觀衆想象成無知的人，這是不可能的。在這種虛假的優越感的非科學心态幹擾下，作者往往誤以為自己寫對了，寫錯的讀者也不了解，是以拒絕花時間保證其内容的嚴謹性。
是以，要保持對科學的敬畏，要保持對讀者的敬畏，這是減少科學傳播内容錯誤所必需的。以上這些，我想和大家分享。