之前介紹了關于空間域濾波的一些操作，主要目的是減少噪聲和平滑圖像，空間域的處理方法都是在已知噪聲資料類型基礎上進行噪聲過濾的，而在某些噪聲圖像類别上上述方法就顯得十分渺小了，頻率域的引入就是來尋找噪聲的類型，并進行空間過濾的。其中頻率是機關時間變化期間，一個周期函數重複相同值序列的次數。頻率域濾波(即波數)為圖像像元的灰階值随着位置變化的空間頻率，以頻譜表示資訊分布特征，可以将一幅圖像像元值在空間上的變化分解為 具有不同振幅、空間頻率和相位的簡振函數的線性疊加，圖像中各種空間頻率成分的組成和分布稱為空間頻譜。這種對圖像的空間頻率特征進行分解、處理和分析稱為頻率域處理。頻率中最典型的就是傅立葉變換，傅立葉變換能把圖像從空間域變換到隻包含不同頻率資訊的頻率域，原圖像上的灰階突變部位、圖像結構複雜的區域、圖像細節及幹擾噪聲等資訊集中在高頻區，而原圖像上灰階變化平緩部位的資訊集中在低頻區(變換函數還有小波變換，将在後續進行分析和解析)。
傅立葉變換
傅立葉變換是将時間域轉換為頻率域的工具，傅立葉指出任何周期或函數都可以表示為不同頻率的正弦和/或餘弦之和的形式，每個正弦和/或餘弦乘以不同的系數（稱該和為傅立葉級數）。無論函數多麼複雜，隻要它是周期的，并且滿足一定條件，都可以用這樣的和表示。一維變換函數（一對，變換及反變化函數）為：
其中，變換後的的函數F(x)，f(t)為變換前周期函數，μ為周期函數分量，周期從0到1/2π。
利用一維變量擴充到二維變量，二維傅立葉變換公式為：
e^j2π(xμ+yv)實際上是一個平面波（的共轭），它的傳播方向與(u,v)相同，角頻率是 根号下x^2+y^2。可以看做是平面波在x方向的角頻率是u和y方向的角頻率是v。二維傅立葉變換具有旋轉不變性了（證明：如何證明二維離散傅裡葉變換的旋轉不變性？）。同時，變換完，中心是兩個角頻率都為0（直流分量），越靠近中心，兩個方向的角頻率越低，合成的角頻率與到中心的距離成正比，是以中心是低頻分量，外部是高頻分量。幅度決定圖像的強弱，相位覺得圖像的像素。分析
頻率域濾波基本步驟
preprocessing：圖像預處理步驟，用0填充f(x,y)，在二維循環卷積時為了保證周期性進行0填充（傅裡葉變換濾波時，為什麼需要對輸入資料進行零填充？）
Fourier transform：圖像傅立葉變換
filter function：濾波器
Inverse Fourier transform：反向傅立葉變換
postprocessing：圖像裁剪，輸出g(x,y)
僞流程：
1.f(x,y)是由MxN構成，填充圖像大小為P(P=2M)xQ(Q=2N)，f_p(x,y)
2.将f_p(x,y)利用-1^(x+y)将圖檔濾波器移動到中心，低頻部分移到中間，高頻部分移到四周，以便後面的計算。
3.計算f_p(x,y)傅立葉變化得到F(u,v)
4.生成一個實的、對陣的過濾器，中心在（P/2,Q/2），大小為PxQ
5.計算H(u,v)F(u,v)，并進行換位，得到初始時圖像的傅立葉變換（DEF）的資料排列形式，即低頻部分在四周，高頻部分在中間（原點在左上角意味着低頻部分在左上角，又因為的DEF是中心對稱的，可得初始時圖像的DEF應是低頻在四周高頻在中間）。
6.計算反傅立葉函數，得到每個元素的幅度（實部和虛部平方和的平方根），并取左上角MxN區域，得到最終的輸出圖像g(x,y)。
過濾器
将一幅圖像的模糊化（頻率域平滑）可通過高頻的衰減來達到，稱為低通濾波器。
将一幅圖像的銳利化（邊緣聚變與高頻有關）可通過低頻的衰減來達到，稱為高通濾波器。
a.低通濾波器
（1）理想低通濾波器
在以原點為圓心，以
為半徑的園内，無衰減地通過所有頻率，而在該圓外"切斷"所有頻率的二維低通濾波器，稱為理想低通濾波器，它由下面函數确定：
其中，D(u,v)是頻率域中點(u,v)與頻率矩陣中心的距離，即：
圖4.40(a)中是H(u,v)的透視圖，圖b顯示了以圖像顯示的濾波器，表明在半徑D0的圓内，所有頻率都無衰減的通過，而在此圓外的所有頻率則是完全被衰減（濾除）。理想低通濾波器是關于原點徑向對稱的，這意味着該濾波器完全是一個徑向橫截面來定義，将圖繞着H(u,v) 360度旋轉則得到圖a。
（2）布特沃斯低通濾波器
截止頻率位于距原點D0處的n階布特沃斯低通濾波器（BLPF）的傳遞函數定義如下：
BLPF傳遞函數并沒有在通過頻率和濾除頻率之間給出明顯截止的尖銳的不連續性。圖4.44(a)是透視圖，表明在半徑D0的圓内，頻率是有規則的通過，而在此圓外的所有頻率則是完全被衰減（濾除）。在空間域的一階布特沃斯濾波器沒有振鈴現象，在二階濾波器中，振鈴現象通過很難察覺（通過設定不同的n值，二階的BLPF是在有效的低通濾波和可接受的振鈴特性之間好的折中），單更高階數的濾波器中振鈴現象會很明顯。
（3）高斯低通濾波器
二維高斯低通濾波器（GLPF）形式如下：
其中D(u,v)是距離頻率矩形中心的距離，
是關于中心擴充度的度量。圖4.47顯示了一個GLPF函數的透視圖、圖像顯示和徑向剖面圖。GLPF的傅立葉反變換也是高斯的，從圖a看得到的空間高斯濾波器沒有振鈴。
b.高通濾波器
通過衰減圖像的傅立葉變換的高頻成分可以平滑圖像。因為邊緣和其他灰階的急劇變化與高頻分量有關，是以圖像的銳化可在頻率域通過高通濾波來實作，高通濾波會衰減傅立葉變換中的低頻分量而不會擾亂高頻資訊。
（1）理想高通濾波器
一個二維理想高通濾波器（IHPF）定義為
其中
是截止頻率，D(u,v)是頻率域中點(u,v)與頻率矩陣中心的距離。在這種濾波器下，IHPF把以半徑為
的圓内的所有頻率置0，而毫無衰減地通過圓外的所有頻率。和理想低通過濾器完全相反。下圖為理想高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖。
（2）布特沃斯高通濾波器
截止頻率
的n階布特沃斯高通濾波器(BHPF)定義為：
類似于低通濾波器，BHPF比IHPF更平滑一些。下圖為布特沃斯高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖。
（3）高斯高通濾波器
截止頻率出在距頻率矩形中心距離為
的高斯高通濾波器(GHPF)的傳遞函數：
類似高斯低通濾波器，高斯高通濾波器比理想高通濾波器、布特沃斯高通濾波器平滑效果更好一些。即使是對微小物體和細線條使用高斯濾波器濾波，結果也是比較清晰的。下圖為高斯高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖。
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https://blog.csdn.net/liuweiyuxiang/article/details/77040942
https://blog.csdn.net/nanhuaibeian/article/details/90738701
https://blog.csdn.net/chanxiaogang/article/details/45226373
https://blog.csdn.net/eeeee123456/article/details/82950986