單變量微積分筆記——無窮級數，泰勒展開及歐拉公式的證明

文章目錄

• 0. 寫在前面
• 1. 一些關于級數的基本概念：
• • 1.1 什麼是無窮級數
  • 1.2 級數和積分的聯系
  • • 個人了解
    • 級數和積分的對比
  • 1.3 級數的收斂
  • 1.4 級數舉例
  • • a. 幾何級數（Geometric Series）
    • b. 調和級數（Harmonic Series）
    • c. p級數
    • d. 幂級數（Power Series）及其收斂半徑（Radius of Convergence）
• 2. 特殊的幂級數——泰勒展開
• • 2.1函數的幂級數表達
  • 2.2 泰勒公式
  • • 泰勒級數
    • 特殊情況——麥克勞林公式
  • 2.3 簡單證明
  • 2.4 指數函數，正餘弦函數的泰勒公式
• 3. 歐拉公式的證明
• 參考

0. 寫在前面

今天總算完整聽完了MIT 18.01單變量微積分的課程，課程最後一部分主要讨論了處理無窮的方法。我對于級數這一部分印象極為深刻，突然明白歐拉公式是怎麼證明的了，是以想寫一篇部落格整理一下思緒，但一切都得從概念上講起。

1. 一些關于級數的基本概念：

1.1 什麼是無窮級數

無窮級數是指無窮多個以既定方式排列的數字的總和。用數學語言來表示的話，設數列為 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . , a_1,a_2,a_3,...,a_n, ..., a1​,a2​,a3​,...,an​,...,，其部分和定義為： S n = ∑ 1 n a n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n S_n=\sum_{1}^{n}a_n=a_1+a_2+a_3+... +a_n Sn​=1∑n​an​=a1​+a2​+a3​+...+an​

無窮級數則表示為：

∑ n = 1 ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ S n = lim ⁡ n → ∞ ∑ n = 1 n a n \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to \infty}S_n=\lim_{n\to \infty}\sum_{n=1}^{n}a_n n=1∑∞​an​=n→∞lim​Sn​=n→∞lim​n=1∑n​an​

1.2 級數和積分的聯系

個人了解

通過之前對積分的學習，再結合大學這四年學習中的經驗，我個人認為級數是從離散的角度（或者說是更加實際的角度）去了解一個連續函數，這種方法也非常适合設計一些計算機程式去估計函數值，導數等等（計算機最喜歡處理重複性的問題）。而對于積分而言，它更像是一種理想化的，更适合人類本身運算的方法，但是遇到了更困難的超越函數之類，在不能通過巧妙的換元法等技巧求解的時候，積分這種方法就不如離散的級數方法有效了。以上隻是比較泛泛的對于積分和級數的了解，以下的内容比較具體。

個人認為級數可以說是黎曼和（Riemann Sum）的一種特殊表達形式。對于定積分而言，例如上黎曼和（選擇函數左側數值作為矩形的高度，下黎曼和則選擇右側數值）的一般形式會将區間 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b] 分成 N N N份，間隔 Δ n = ( b − a ) / N \Delta n=(b-a)/N Δn=(b−a)/N得到：

S = ∑ k = 1 N − 1 f ( a + ( k − 1 ) Δ n ) ⋅ ( a + ( k − 1 ) Δ n ) S=\sum_{k=1}^{N-1}f(a+(k-1)\Delta n)\cdot(a+(k-1)\Delta n) S=k=1∑N−1​f(a+(k−1)Δn)⋅(a+(k−1)Δn)

而級數則是在區間 x ∈ [ x 0 , ∞ ] x\in[x_0,\infty] x∈[x0​,∞] 上中間間隔為1的黎曼和（通過上下黎曼和也可以估計級數部分和的大小）：

S i n f = ∑ 1 ∞ f ( x ) ⋅ 1 S_{inf}=\sum_{1}^{\infty}f(x)\cdot1 Sinf​=1∑∞​f(x)⋅1

級數和積分的對比

在MIT 18.01中，Jerison教授對比了級數和積分，并給出了一個定理：

（參考講義session 95b）

如果 f ( x ) f(x) f(x) 是遞減函數且在區間 [ 1 , ∞ ] [1,\infty] [1,∞] 上 f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0，那麼級數 ∑ 1 ∞ f ( x ) \sum_1^\infty f(x) ∑1∞​f(x) 和積分 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x \int_1^\infty f(x)dx ∫1∞​f(x)dx 同時收斂或發散，并且滿足：

∑ 1 ∞ f ( x ) − ∫ 1 ∞ f ( x ) d x &lt; f ( 1 ) \sum_1^\infty f(x)-\int_1^\infty f(x)dx&lt;f(1) 1∑∞​f(x)−∫1∞​f(x)dx<f(1)

注意！求解無窮級數要比求解無窮積分（瑕積分Improper Integral）要困難得多。

1.3 級數的收斂

級數的收斂性是指 lim ⁡ x → ∞ S n = C \lim_{x\to\infty}S_n=C limx→∞​Sn​=C（常數），這裡 S n S_n Sn​ 是數列的n項和；反之，級數發散（diverge）。涉及到幂級數時還需定義收斂半徑（見 2.1）

1.4 級數舉例

a. 幾何級數（Geometric Series）

幾何級數的表達式：

∑ 0 ∞ a n = 1 + a + a 2 + a 3 + . . . = 1 1 − a ( ∣ a ∣ &lt; 1 ) \sum_0^\infty a^n=1+a+a^2+a^3+...=\frac{1}{1-a}\\ (|a|&lt;1) 0∑∞​an=1+a+a2+a3+...=1−a1​(∣a∣<1)

需注意，當 ∣ a ∣ ≥ 1 |a|\geq1 ∣a∣≥1時，幾何級數不收斂。

b. 調和級數（Harmonic Series）

調和級數是p級數的一種特殊情況，其表達式為：

∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+... n=1∑∞​n1​=1+21​+31​+...+n1​+...

調和級數是發散的

c. p級數

p級數的表達式為:

∑ n = 1 ∞ 1 n p = 1 + 1 n 2 + 1 n 3 + . . . 1 n p + . . . \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+...\frac{1}{n^p}+... n=1∑∞​np1​=1+n21​+n31​+...np1​+...

當 ∣ p ∣ ≥ 1 |p|\geq1 ∣p∣≥1時，級數收斂（ p = 1 p=1 p=1時為調和級數）；當 ∣ p ∣ &lt; 1 |p|&lt;1 ∣p∣<1時，級數發散。

d. 幂級數（Power Series）及其收斂半徑（Radius of Convergence）

幂級數的表達式為：

∑ 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . \sum_0^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+... 0∑∞​an​xn=a0​+a1​x+a2​x2+...+an​xn+...

收斂半徑：

存在一個數 R ( 0 ≤ R ≤ ∞ ) R(0\leq R\leq\infty) R(0≤R≤∞) 使得 ∣ x ∣ &lt; R |x|&lt;R ∣x∣<R 時，級數 ∑ 0 ∞ a n x n \sum_0^\infty a_nx^n ∑0∞​an​xn收斂； ∣ x ∣ &gt; R |x|&gt;R ∣x∣>R 時，級數 ∑ 0 ∞ a n x n \sum_0^\infty a_nx^n ∑0∞​an​xn發散，這個數 R R R 就被稱為收斂半徑。

2. 特殊的幂級數——泰勒展開

2.1函數的幂級數表達

我們已經知道幂級數的表達式為 ∑ 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . \sum_0^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+... 0∑∞​an​xn=a0​+a1​x+a2​x2+...+an​xn+...

寫成函數形式就是：（可以說多項式是幂級數的有限項展開）

f ( x ) = ∑ 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . f(x)=\sum_0^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+... f(x)=0∑∞​an​xn=a0​+a1​x+a2​x2+...+an​xn+...

并且在收斂域内 （ ∣ x ∣ &lt; R |x|&lt;R ∣x∣<R）， f ( x ) f(x) f(x)的所有高階導數都存在。

2.2 泰勒公式

基本上所有函數都能以幂級數的形式展開，隻是參數 a n a_n an​不同。而泰勒公式的目的就是為了求解這些參數的值。

泰勒級數

泰勒級數的一般形式為：

f ( x ) = ∑ 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n f(x)=\sum_0^\infty \frac{f^{( n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n f(x)=0∑∞​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n

具體的展開我就不寫了，因為泰勒展開的特殊情況才是重點。

特殊情況——麥克勞林公式

當泰勒公式中的 x 0 = 0 x_0=0 x0​=0 時，我們就得到了非常重要的麥克勞林公式。

f ( x ) = ∑ 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ′ ′ ′ ( 0 ) 3 ! x 3 + . . . f(x)=\sum_0^\infty \frac{f^{( n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+f&#x27;(0)x+\frac{f&#x27;&#x27;(0)}{2!}x^2+\frac{f&#x27;&#x27;&#x27;(0)}{3!}x^3+... f(x)=0∑∞​n!f(n)(0)​xn=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)​x2+3!f′′′(0)​x3+...

2.3 簡單證明

我在這裡簡單證明以下麥克勞林公式。

函數 f ( x ) f(x) f(x) 能夠表示成：

f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+... f(x)=a0​+a1​x+a2​x2+...+an​xn+...函數 f ( x ) f(x) f(x) 的一階導數為： f ′ ( x ) = a 1 + 2 a 2 x + . . . + n a n x n − 1 + . . . f&#x27;(x)=a_1+2a_2x+...+ na_nx^{n-1}+... f′(x)=a1​+2a2​x+...+nan​xn−1+...函數 f ( x ) f(x) f(x) 的二階導數為： f ′ ′ ( x ) = 2 a 2 + 6 a 3 x + . . . + n ( n − 1 ) a n x n − 2 + . . . f&#x27;&#x27;(x)=2a_2+6a_3x+...+ n(n-1)a_nx^{n-2}+... f′′(x)=2a2​+6a3​x+...+n(n−1)an​xn−2+... ⋯ \cdots ⋯ ⋯ \cdots ⋯

這時我們隻需要求在點 x = 0 x=0 x=0處的 n n n階導數的值就得到了相關系數 a n a_n an​：

a 0 = f ( 0 ) , a 1 = f ′ ( 0 ) a_0=f(0),a_1=f&#x27;(0) a0​=f(0),a1​=f′(0) a 2 = f ′ ′ ( 0 ) 2 ! a_2=\frac{f&#x27;&#x27;(0)}{2!} a2​=2!f′′(0)​ a 3 = f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! a_3=\frac{f^{(3)}(0)}{3!} a3​=3!f(3)(0)​ ⋯ \cdots ⋯ a n = f ( n ) ( 0 ) n ! a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} an​=n!f(n)(0)​

2.4 指數函數，正餘弦函數的泰勒公式

常用的麥克勞林公式有：

（1）指數函數 e x e^x ex

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots ex=1+x+2!x2​+3!x3​+…

（2）正弦函數 sin ⁡ x \sin x sinx

sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots sinx=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+…

（3）餘弦函數 cos ⁡ x \cos x cosx

cos ⁡ x = sin ⁡ ′ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … \cos x=\sin&#x27;x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots cosx=sin′x=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+…

（注意，正餘弦函數的高階導數都是四個一循環）

3. 歐拉公式的證明

在大二大三學信号與系統，數字信号處理，分析交流電路的時候，歐拉公式都非常非常非常重要！！！！但是當時根本不知道為什麼會有歐拉公式，隻知道它包含了實部和虛部，還有它是最優美的公式，也沒有查過如何證明。

今天在複習了泰勒公式之後，我才發現在有了泰勒公式的前提下，歐拉公式的證明是多麼地直接。

由常用的三個泰勒展開式，我們可以得到：

e i x = 1 + i x − x 2 2 ! − x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! − … e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots eix=1+ix−2!x2​−3!x3​+4!x4​+5!x5​−… = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … ) =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots) =(1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+…)+i(x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+…)

（需要注意 i n i^n in 也是有周期性質的，周期為4， i 0 = 1 ; i 1 = i ; i 2 = − 1 ; i 3 = − i ; i 4 = 1 … i^0=1;i^1=i; i^2=-1;i^3=-i; i^4=1\ldots i0=1;i1=i;i2=−1;i3=−i;i4=1…本質上來講 i i i就是旋轉 90 ° 90\degree 90°到 y y y 軸）

又因為我們知道： sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots sinx=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+… cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots cosx=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+…

在函數 sin ⁡ x \sin x sinx前加入虛數 i i i 之後證明過程就變得非常直接了:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^{ix}=\cos x+i\sin x eix=cosx+isinx

這就是著名的歐拉公式了！（之後複習到信号與系統我再詳細介紹它的應用吧！）

參考

1. 高等數學（下）無窮級數：https://blog.csdn.net/linxilinxilinxi/article/details/80920953
2. MIT 18.01單變量微積分講義: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/unit-5-exploring-the-infinite/part-b-taylor-series/
3. Infinite series：https://www.britannica.com/science/infinite-series