如下圖在不同的向量場内，如何評估閉合曲線s的積分
如圖一曲線所在的向量場隻有y分量，且向量場都是朝向y軸正方向
而我們知道點積F*dr，在同向時為正，垂直時為0，逆向時為負值，
我們可以通過曲線附近的向量場的方向大體判斷積分
是以我們說三維向量場F内的閉合曲線s的積分，等于曲線圍成的曲面内微小面積ds與旋度的積分
也等于通量的積分？
可以了解為stokes定理是格林定理向高維的推廣
如下圖在三維空間内的向量場F，曲線c所圍城的面R
将z分量看做0
則通過計算F的旋度得到 ∫ ∫ R ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d s \int\int_R(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})ds ∫∫R(∂x∂Q−∂y∂P)ds
如何确定曲面的機關法向量方向：
想象我們沿着曲線行走，曲面總是在我們的左邊，法向量是我們頭頂所指的方向
而如果我們的曲線幾番方向順時針的
則法向量朝向z軸負方向
比如擰瓶蓋，逆時針時向上走，打開瓶蓋，順時針是向下走，蓋上瓶蓋
執行個體：
如下圖我們有
曲線c關于x，y發函數
y+z=2
x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1
向量場F= − y 2 i + x j + z 2 k -y^2i+xj+z^2k −y2i+xj+z2k
如何求曲線c的積分
∫ c = F ⃗ ∗ d r ⃗ = ∫ ∫ s ( c u r l F ⃗ n ) d S \int_c=\vec{F}*d\vec{r}=\int\int_s(curl \vec{F} n)dS ∫c=F
∗dr
=∫∫s(curlF
n)dS
先确定x，y，z以及邊界，由機關圓确定角度和半徑的邊界
将xyz帶入
而我們前面通量那節已經學習過法向量乘以ds等于 d s ⃗ d\vec{s} ds
下面進行計算
取r的偏導
r為變量 theta為常數
取theta偏導
取他們的叉積
（注意有點乘是取點積，沒有點乘是取叉積，乘以标量是縮放）
得到 r j + r k rj+rk rj+rk
帶入面積的雙重積分
插入nabla算子與梯度，旋度，散度的關系
以上
∇ \nabla ∇算子作為标量的時候，本身就代表空間的梯度
∇ \nabla ∇與向量的點積，代表向量的散度
∇ \nabla ∇與向量的叉積，代表向量的旋度
取 ∇ \nabla ∇算子與向量F的叉積得到旋度
帶入積分表達式
求出F與n的點積
再求theta的反導數
帶入2pi和0積分
因為 c o s 2 π = c o s 0 = 1 cos2\pi=cos0=1 cos2π=cos0=1
得到 2 π r 2\pi r 2πr，它的原函數是 π r 2 \pi r^2 πr2
帶入1和0積分
得到 π \pi π
下面來看不用stokes定理如何計算c的積分
一般積分計算是向量場F與dr的點積，
我們已經參數化了xyz，将其帶入表達式，再進行積分運算即可