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在數學領域，π的萊布尼茨公式說明
   π 4 ​ = 1   −   1 3   +   1 5   −   1 7   +   1 9   −   ⋯    {\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;} 4π=1−31+51−71+91−⋯
右邊的展式是一個無窮級數，被稱為萊布尼茨級數，這個級數收斂到 π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 4π。它通常也被稱為格雷戈裡-萊布尼茨級數，用以紀念萊布尼茨同時代的天文學家兼數學家詹姆斯·格雷戈裡。使用求和符号可記作：
   π 4 = ∑ n = 0 ∞   ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} 4π=n=0∑∞2n+1(−1)n
目錄
1 證明
1.1 初等證明
2 參考文獻
3 外部連結
證明
考慮下面的幾何數列：
1   −   x 2   +   x 4   −   x 6   +   x 8   −   ⋯    =    1 1 + x 2 , ∣ x ∣ < 1. ​ {\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!} 1−x2+x4−x6+x8−⋯=1+x21,∣x∣<1.
對等式兩邊積分可得到反正切的幂級數：
x   −   x 3 3   +   x 5 5   −   x 7 7   +   x 9 9   −   ⋯    =    tan − 1 x , ∣ x ∣ < 1. ​ {\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!} x−3x3+5x5−7x7+9x9−⋯=tan−1x,∣x∣<1.
将 x = 1 x = 1 x=1 代入，便得萊布尼茲公式(1的反正切是 π ⁄ 4 π ⁄ 4 π⁄4)。這種推理産生的一個問題是1不在幂級數的收斂半徑以内。是以，需要額外論證當 x = 1 x = 1 x=1時級數收斂到 tan − 1 ( 1 ) \tan^{−1}(1) tan−1(1)。一種方法是利用交替級數判别法，然後使用阿貝爾定理證明級數收斂到 tan − 1 ( 1 ) \tan^{−1}(1) tan−1(1)。然而，也可以用一個完全初等的證明。
初等證明
考慮如下分解
1 1 + x 2    =    1   −   x 2   +   x 4   −   ⋯   +   ( − 1 ) n x 2 n    +    ( − 1 ) n + 1   x 2 n + 2 1 + x 2 . ​ {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!} 1+x21=1−x2+x4−⋯+(−1)nx2n+1+x2(−1)n+1x2n+2.
對于 ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1，右側的分式是餘下的幾何級數的和。然而，上面的方程并沒有包含無窮級數，并且對任何實數 x x x 成立。上式兩端從0到1積分可得：
π 4    =    1   −   1 3   +   1 5   −   ⋯   + ( − 1 ) n 2 n + 1    +    ( − 1 ) n + 1 ​​ ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2   d x . ​ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!} 4π=1−31+51−⋯+2n+1(−1)n+(−1)n+1∫011+x2x2n+2dx.
當 n → ∞ ​ {\displaystyle n\rightarrow \infty \!} n→∞ 時，除積分項以外的項收斂到萊布尼茨級數。同時，積分項收斂到 0：
0 ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2   d x ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2   d x    =    1 2 n + 3    →    0 ​    當 n → ∞ ​ {\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!}\,\, 當 {\displaystyle n\rightarrow \infty \!} 0≤∫011+x2x2n+2dx≤∫01x2n+2dx=2n+31→0當n→∞
這便證明了萊布尼茨公式。
參考文獻
Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.
外部連結
Implementation of the Leibniz formula for TI Basic
Leibniz Formula in C, x86 FPU Assembly, x86-64 SSE3 Assembly, and DEC Alpha Assembly
補充
π 4 = ∫ 0 1 1 1 + x 2   d x . \frac {\pi}{4}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. 4π=∫011+x21dx.
π 2 = ∫ 0 ∞ 1 1 + x 2   d x . \frac {\pi}{2}=\int _{0}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. 2π=∫0∞1+x21dx.
π = ∫ − ∞ ∞ 1 1 + x 2   d x . \pi=\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. π=∫−∞∞1+x21dx.
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