[转]Vue项目部署，清理缓存方式（亲测有效） Vue项目部署，清理缓存方式（亲测有效）

2022-01-21 12:26:00

Vue项目部署，清理缓存方式（亲测有效）

上一篇: OSCache使用指南

下一篇: [转]visual studio code 配置vue开发环境

最近更新

π的莱布尼茨公式

2023-05-13 20:21:37

维基百科，自由的百科全书（由于维基被禁，搬到此）

在数学领域，π的莱布尼茨公式说明

  π 4 &NegativeThinSpace; = 1   −   1 3   +   1 5   −   1 7   +   1 9   −   ⋯   {\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;} 4π=1−31+51−71+91−⋯

右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到 π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 4π。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数，用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：

  π 4 = ∑ n = 0 ∞   ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} 4π=n=0∑∞2n+1(−1)n

1 证明

1.1 初等证明

2 参考文献

3 外部链接

证明

考虑下面的几何数列：

1   −   x 2   +   x 4   −   x 6   +   x 8   −   ⋯   =   1 1 + x 2 , ∣ x ∣ < 1. &NegativeThinSpace; {\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!} 1−x2+x4−x6+x8−⋯=1+x21,∣x∣<1.

对等式两边积分可得到反正切的幂级数：

x   −   x 3 3   +   x 5 5   −   x 7 7   +   x 9 9   −   ⋯   =   tan ⁡ − 1 x , ∣ x ∣ < 1. &NegativeThinSpace; {\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!} x−3x3+5x5−7x7+9x9−⋯=tan−1x,∣x∣<1.

将 x = 1 x = 1 x=1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是 π ⁄ 4 π ⁄ 4 π⁄4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当 x = 1 x = 1 x=1时级数收敛到 tan ⁡ − 1 ( 1 ) \tan^{−1}(1) tan−1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到 tan ⁡ − 1 ( 1 ) \tan^{−1}(1) tan−1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。

初等证明

考虑如下分解

1 1 + x 2   =   1   −   x 2   +   x 4   −   ⋯   +   ( − 1 ) n x 2 n   +   ( − 1 ) n + 1   x 2 n + 2 1 + x 2 . &NegativeThinSpace; {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!} 1+x21=1−x2+x4−⋯+(−1)nx2n+1+x2(−1)n+1x2n+2.

对于 ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数 x x x 成立。上式两端从0到1积分可得：

π 4   =   1   −   1 3   +   1 5   −   ⋯   + ( − 1 ) n 2 n + 1   +   ( − 1 ) n + 1 &NegativeThinSpace;&NegativeThinSpace; ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2   d x . &NegativeThinSpace; {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!} 4π=1−31+51−⋯+2n+1(−1)n+(−1)n+1∫011+x2x2n+2dx.

当 n → ∞ &NegativeThinSpace; {\displaystyle n\rightarrow \infty \!} n→∞ 时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到 0：

0 ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2   d x ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2   d x   =   1 2 n + 3   →   0 &NegativeThinSpace;    当 n → ∞ &NegativeThinSpace; {\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!}\,\, 当 {\displaystyle n\rightarrow \infty \!} 0≤∫011+x2x2n+2dx≤∫01x2n+2dx=2n+31→0当n→∞

这便证明了莱布尼茨公式。

参考文献

Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.

外部链接

Implementation of the Leibniz formula for TI Basic

Leibniz Formula in C, x86 FPU Assembly, x86-64 SSE3 Assembly, and DEC Alpha Assembly

补充

π 4 = ∫ 0 1 1 1 + x 2   d x . \frac {\pi}{4}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. 4π=∫011+x21dx.

π 2 = ∫ 0 ∞ 1 1 + x 2   d x . \frac {\pi}{2}=\int _{0}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. 2π=∫0∞1+x21dx.

π = ∫ − ∞ ∞ 1 1 + x 2   d x . \pi=\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. π=∫−∞∞1+x21dx.

级数微积分维基百科

上一篇: 信用卡还款方式比较

继续阅读

Wikipedia 语料库处理

带有积分号的无穷小量去积分号找对等价量的方法

3分钟了解什么是比特币

简易中文自动文摘系统（二）：中文语料库的准备

zoj2614 Bridge（自适应Simpson公式+二分答案）

欧拉的另一错误

8岁才女眼中的法律引起千万中国家庭共鸣。网易有道词典。我怀着巨大的好奇心，我问妈妈：Iaskedmymom？什么是法律？

素数判定高级程序员才知道的那些事儿

第二单元用python学习微积分（十四）无穷小量和不定积分一、无穷小量二、不定积分三、例子

微积分规律第一章函数极限连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章常微分方程第五章多元函数微分学第六章二重积分

函数项级数——{x^n}题目

函数项级数的性质连续性逐项求积逐项求导

数项级数一道课后例题题目证明

对数项级数一道课后例题的新思考<题目>反思

我与“百科全书”的故事---祝贺《信息通信技术百科全书》正式出版！

使用中文维基百科进行GloVe实验

[转]Vue项目部署，清理缓存方式（亲测有效） Vue项目部署，清理缓存方式（亲测有效）

Vue项目部署，清理缓存方式（亲测有效）

爱死这些重口味的粽子了! 今年端午我要放纵一把！

临近高考，为学生准备了12道菜，补充体力和脑力，精神饱满状态好

孙杨输给潘展乐真相！赛后采访曝关键：不是年龄问题，而是这句话

酸奶新国标来了！这些指标都有调整

科比遗孀近照身材傲人光头男贴身随行，网友：老婆和钱都是别人的

中国最辣的十大美食

来新津！看龙舟！吃鱼鲜！哪一口是你的最爱？

【今日新游】Steam上架游戏推荐 05.19 - 05.25（一）

小满到，少碰冷饮和油炸，常吃这3样，祛湿健脾，安稳度夏

从外包到3A，《明末》研发商CEO姜敏：国产单机不比任何人做得差

女游客高反离世后续：系公司团建，挑战最难路线，更多细节曝光

女游客高反致死！线路长难度高，系公司团建，知情人曝更多细节