左右手坐标系的轉換

文章目錄

• 左手系與右手系的旋轉正方向
• 點的轉換
• 旋轉的轉換
• • 旋轉矩陣
  • 四元數
• 結論
• • X軸取反
  • Y軸取反
  • Z軸取反

本文描述了左右手坐标系的資料轉換過程，其中包括點，平移，旋轉（旋轉矩陣，四元數）。以不同手系中點的轉換出發，詳細推導了旋轉矩陣以及四元數的轉換過程，并且在文末的結論中給出了三種情況下（X軸取反，Y軸取反，Z軸取反）的平移（點）和旋轉的轉換（旋轉矩陣，四元數）。

參考：左右手坐标系的資料轉換

左手系與右手系的旋轉正方向

• 判斷方法：大拇指指向旋轉軸正方向，剩餘四個手指彎曲方向為旋轉正方向。可以看出左手系中旋轉正方向是順時針，右手系中旋轉正方向是逆時針

點的轉換

點在左右手系中的轉換最簡單，隻需要将某一個軸分量取反。以Z軸取反為例，右手系中的點Pr(x,y,z)在左手系中轉換為點Pl(x,y,-z)，用矩陣表示為：

P l = [ x y − z ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] [ x y z ] = S T P r P_l=\begin{bmatrix} x\\y\\-z\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\\z\end{bmatrix}=S_TP_r Pl​=⎣⎡​xy−z​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​=ST​Pr​

點的轉換矩陣為：

S T = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} ST​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​

旋轉的轉換

旋轉矩陣

假設一個右手系中的旋轉矩陣為：

R r = [ r 00 r 01 r 02 r 10 r 11 r 12 r 20 r 21 r 22 ] R_r=\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} Rr​=⎣⎡​r00​r10​r20​​r01​r11​r21​​r02​r12​r22​​⎦⎤​

輸入一個點Pr(x,y,z)經過該矩陣變換後輸出點Pr’(x’,y’,z’)：

P r ′ = [ x ′ y ′ z ′ ] = [ r 00 r 01 r 02 r 10 r 11 r 12 r 20 r 21 r 22 ] [ x y z ] = R r P r P'_r= \begin{bmatrix} x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=R_rP_r Pr′​=⎣⎡​x′y′z′​⎦⎤​=⎣⎡​r00​r10​r20​​r01​r11​r21​​r02​r12​r22​​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​=Rr​Pr​

在左手系中，輸入和輸出的Z軸分量都取反，于是在左手系中的變換為 P l = ( x , y , − z ) → ( x ′ , y ′ , − z ′ ) = P l ′ P_l=(x,y,-z)\rightarrow (x',y',-z')=P_l' Pl​=(x,y,−z)→(x′,y′,−z′)=Pl′​

又

P l ′ = S T P r ′ = S T R r P r = S T R r S T P l P_l'=S_TP_r'=S_TR_rP_r=S_TR_rS_TP_l Pl′​=ST​Pr′​=ST​Rr​Pr​=ST​Rr​ST​Pl​

是以，在左手系中的旋轉矩陣變為：

R l = S T R r S T R_l=S_TR_rS_T Rl​=ST​Rr​ST​

可以了解為在左手系中将該旋轉拆分為三步：

1. 将左手系中的點變換到右手系中
2. 根據右手系中的旋轉矩陣進行旋轉
3. 将旋轉後的點變換到左手系中

将點轉換矩陣帶入計算：

R l = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] [ r 00 r 01 r 02 r 10 r 11 r 12 r 20 r 21 r 22 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] = [ r 00 r 01 − r 02 r 10 r 11 − r 12 − r 20 − r 21 r 22 ] R_l=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&-r_{02}\\r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\-r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} Rl​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​⎣⎡​r00​r10​r20​​r01​r11​r21​​r02​r12​r22​​⎦⎤​⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​=⎣⎡​r00​r10​−r20​​r01​r11​−r21​​−r02​−r12​r22​​⎦⎤​

四元數

由旋轉矩陣轉四元數的轉換公式可得：

q 0 l = 1 + t r ( R l ) 2 = q 0 q 1 l = − r 12 − ( − r 21 ) 4 q 0 = − r 12 − r 21 4 q 0 = − q 1 q 2 l = − r 20 − ( − r 02 ) 4 q 0 = − r 20 − r 02 4 q 0 = − q 2 q 3 l = r 01 − r 10 4 q 0 = q 3 q_{0l}=\frac{\sqrt{1+tr(R_l)}}{2}=q_0\\ q_{1l}=\frac{-r_{12}-(-r_{21})}{4q_0}=-\frac{r_{12}-r_{21}}{4q_0}=-q_1\\ q_{2l}=\frac{-r_{20}-(-r_{02})}{4q_0}=-\frac{r_{20}-r_{02}}{4q_0}=-q_2\\ q_{3l}=\frac{r_{01}-r_{10}}{4q_0}=q_3 q0l​=21+tr(Rl​)

​​=q0​q1l​=4q0​−r12​−(−r21​)​=−4q0​r12​−r21​​=−q1​q2l​=4q0​−r20​−(−r02​)​=−4q0​r20​−r02​​=−q2​q3l​=4q0​r01​−r10​​=q3​

結論

X軸取反

點轉換矩陣：

S T = [ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] S_T= \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ST​=⎣⎡​−100​010​001​⎦⎤​

旋轉矩陣:

[ r 00 − r 01 − r 02 − r 10 r 11 r 12 − r 20 r 21 r 22 ] \begin{bmatrix}r_{00}&-r_{01}&-r_{02}\\-r_{10}&r_{11}&r_{12}\\-r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\ ⎣⎡​r00​−r10​−r20​​−r01​r11​r21​​−r02​r12​r22​​⎦⎤​

四元數：

q 0 l = q 0 q 1 l = q 1 q 2 l = − q 2 q 3 l = − q 3 q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=q_1\\ q_{2l}=-q_2\\ q_{3l}=-q_3 q0l​=q0​q1l​=q1​q2l​=−q2​q3l​=−q3​

Y軸取反

點轉換矩陣：

S T = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ST​=⎣⎡​100​0−10​001​⎦⎤​

旋轉矩陣:

[ r 00 − r 01 r 02 − r 10 r 11 − r 12 r 20 − r 21 r 22 ] \begin{bmatrix}r_{00}&-r_{01}&r_{02}\\-r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\ ⎣⎡​r00​−r10​r20​​−r01​r11​−r21​​r02​−r12​r22​​⎦⎤​

四元數：

q 0 l = q 0 q 1 l = − q 1 q 2 l = q 2 q 3 l = − q 3 q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=-q_1\\ q_{2l}=q_2\\ q_{3l}=-q_3 q0l​=q0​q1l​=−q1​q2l​=q2​q3l​=−q3​

Z軸取反

點轉換矩陣：

S T = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} ST​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​

旋轉矩陣:

[ r 00 r 01 − r 02 r 10 r 11 − r 12 − r 20 − r 21 r 22 ] \begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&-r_{02}\\r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\-r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\ ⎣⎡​r00​r10​−r20​​r01​r11​−r21​​−r02​−r12​r22​​⎦⎤​

四元數：

q 0 l = q 0 q 1 l = − q 1 q 2 l = − q 2 q 3 l = q 3 q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=-q_1\\ q_{2l}=-q_2\\ q_{3l}=q_3 q0l​=q0​q1l​=−q1​q2l​=−q2​q3l​=q3​