Gamma分布

Gamma函數可以看作是整數階乘在實數上的擴充，其定義為

Γ(a)=∫∞0xa−1e−xdx.

使用部分積分法，可以得到

Γ(n)=(n−1)!

對Gamma函數進行變換，可以得到

∫∞0xa−1e−xΓ(a)dx=1.

于是，去積分中的函數作為機率密度函數，就得到最簡單的Gamam分布的密度函數

Γ(x|a)=xa−1e−xΓ(a)

對x做變換 x=βt ，可以得到Gamma分布密度函數的一般形式

Γ(a,β)=βata−1e−βtΓ(a)

一般，将随機變量X服從參數 a,β 的Gamma分布記為X~ Γ(a,β) .

獨立随機變量的Gamma分布的可加性，即若随機變量 X1,X2,...,Xn 互相獨立，且 Xi 服從參數 a,β(i=1,2,...,n) 的Gamma分布，則 ∑n1Xi 服從參數為 ∑n1ai,β 的分布，記為

∑n1Xi ~ Γ(∑n1ai,β)