天體實體學新機率分布：截斷伽瑪-帕累托分布在宇宙射線中的應用
引言：伽瑪-帕累托分布由引入，并在該文中推導出了其最重要的統計參數。伽瑪-帕累托機率密度函數（PDF）模拟了長尾特征以及伽瑪類型的左側行為。首次應用是用于雅加達賈蒂旺吉站的月降雨量資料。
比較廣義線性模型（GLM）和伽瑪-帕累托模型。對住院時間長度進行了應用。分析了兩架最近飛行的客機之間的間距。兩個擴充是伽瑪-帕累托（IV）和權重伽瑪-帕累托分布（WGPD）。
伽瑪-帕累托分布的機率密度函數（PDF）如下：f(x;α,c,θ)=(θx)1cln(xθ)α−1xΓ(α)cα,(1)其中α>0，c>0，θ>0，x>θ。其分布函數（DF）為：F(x;α,c,θ)=1+−Γ(α+1,ln(x)−ln(θ)c)+x−1cθ1cc−α(ln(x)−ln(θ))αα Γ(α)。
其均值μ為：μ(α,c,θ)=θ(1−c)−α,(3)方差σ²為：σ²(α,c,θ)=θ²((1−2c)−α−(1−c)−2α),(4)其關于原點的r階矩μ′r為：μ′r(α,c,θ)=(−cr+1)−αθr,(5偏度μ˜3為：μ˜3(α,c,θ)=−3(−2c+1)−α(−c+1)−α+2(−c+1)−3α+(−3c+1)−α((−2c+1)−α−(−c+1)−2α)32。
峰度μ˜4為：μ˜4(α,c,θ)=ND,(7)其中：N=−4(−c+1)3α(−3c+1)−α(−2c+1)2α+(−c+1)4α(−4c+1)−α(−2c+1)2α +6(−c+1)2α(−2c+1)α−3(−2c+1)2α,(8)D=((−c+1)2α−(−2c+1)α)2,(9)衆數Mode為：Mode(α,c,θ)=e(α−1)cc+1θ.(10)。
其中Rz>0。在定義的Pareto PDF為：f(x;a,c)=acx−c−1c,(14)其中c>0，a>0。比較了Pareto和伽瑪-帕累托分布的PDF。用于比較的第二個PDF是對數正态分布，根據：fLN(x;m,σ)=e−12σ2(ln(xm))2xσ2π√。
其中m是中位數，σ是形狀參數。比較了伽瑪-帕累托和對數正态分布。用于比較的第三個分布是雙Pareto對數正态分布，其PDF為：f(x;α,β,μ,σ)=12αβ(e12α(ασ2+2μ−2ln(x))erfc(12(ασ2+μ−ln(x))2√σ) +e12β(βσ2−2μ+2ln(x))erfc(12(βσ2−μ+ln(x))2√σ))x−1(α+β)−1)。
其中α>0，c>0，0<θ<x<xu，T表示截斷。其分布函數（DF）為：FT(x;α,c,θ,xu)=x1cu(−Γ(α+1,ln((xθ)1c))cα+cαΓ(α+1)+ln(xθ)α(xθ)−1c)cαx1cuΓ(α+1)−cαx1cuΓ(α+1,ln((xuθ)1c))+ln(xuθ)αθ1c,(23)
其平均值為：μT(α,c,θ,xu)=Acαx1cuΓ(α+1)−cαx1cuΓ(α+1,ln((xuθ)1c))+ln(xuθ)αθ1c,(24)其中A=ln (xuθ)α⎛⎝Γ(α+1)cαx1culn(xu(xuθ)−cθ)−αθ −cαx1culn(xu(xuθ)−cθ)−αΓ⎛⎝⎜α+1,ln ⎛⎝⎜θ(xuθ)1cxu⎞⎠⎟⎞⎠⎟θ+xuθ1c⎞⎠⎟.。
截斷伽瑪-帕累托II分布的機率密度函數定義如下：fDT(x;α,c,θ,xl,xu)=θ1c(x+θ)−1−1cln(1+xθ)α−1cαΓ(α)K′，其中α>0，c>0，xl>0，xu>0，θ>0，且滿足xl<x<xu。K′表示一個常數，計算方式為：K′=Γ(α+1,ln((xl+θθ)1c))−Γ(α+1,ln((xu+θθ)1c)) +c−αln(xu+θθ)α(xu+θ)−1cθ1c−c−αln(xl+θθ)α(xl+θ)−1cθ1c。
結論：對截斷對伽瑪-帕累托和伽瑪-帕累托II分布的影響進行了分析，推導了它們的分布函數、均值和方差。對兩種現象進行了應用，這些現象通常具有長尾的右側尾部，通常使用幂律行為進行模組化，例如帕累托機率密度函數。
在小行星的情況下，得到了最佳結果，使用了雙截斷的伽瑪-帕累托II函數，而對于宇宙射線（CR），使用了雙截斷的伽瑪-帕累托函數，這些模型允許推導出宇宙射線能量譜的一些解析公式，其中雙截斷伽瑪-帕累托II函數的平均值為2.6 GeV。
