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Matlab随機波動率SV、GARCH用MCMC馬爾可夫鍊蒙特卡羅方法分析匯率時間序列

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波動率是一個重要的概念，在金融和交易中有許多應用。它是期權定價的基礎。波動率還可以讓您确定資産配置并計算投資組合的風險價值 (VaR)。甚至波動率本身也是一種金融工具，例如 CBOE 的 VIX 波動率指數。然而，與證券價格或利率不同，波動性無法直接觀察到。相反，它通常被衡量為證券或市場指數的收益率曆史的統計波動。這種類型的度量稱為已實作波動率或曆史波動率。衡量波動性的另一種方法是通過期權市場，其中期權價格可用于通過某些期權定價模型得出标的證券的波動性。Black-Scholes 模型是最受歡迎的模型。這種類型的定義稱為 隐含波動率。VIX 基于隐含波動率。

存在多種統計方法來衡量收益序列的曆史波動率。高頻資料可用于計算低頻收益的波動性。例如，使用日内收益來計算每日波動率；使用每日收益來計算每周波動率。還可以使用每日 OHLC（開盤價、最高價、最低價和收盤價）來計算每日波動率。比較學術的方法有ARCH（自回歸條件異方差）、GARCH（廣義ARCH）、TGARCH（門檻值GARCH）、EGARCH（指數GARCH）等。我們不會詳細讨論每個模型及其優缺點。相反，我們将關注随機波動率 (SV) 模型，并将其結果與其他模型進行比較。一般來說，SV 模型很難用回歸方法來估計，正如我們将在本文中看到的那樣。

歐元/美元匯率

我們将以 2003-2018 年 EUR/USD 匯率的每日詢價為例來計算每日波動率。

  1.  subplot(2,1,1);
  2.  plot(ta,csl)
  3.  subplot(2,1,2);
  4.  plot(at,rtdan);
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圖 1. 頂部：歐元/美元的每日匯率（要價）。底部：每日對數收益率百分比。

圖 2 顯示收益率中沒有序列相關性的依據。

  1.  [sdd,slodgdL,infaso] = estimaadte(Mddsdl,rtasd);
  2.  [aEass,Vad,lsagLd] = infer(EstMsssddl,rtsdn);
  3.  [hsd,pValasdue,dstat,ascValue] = lbqtest(reas,'lags',12)
  4.  [hs,pdValsue,sdtatsd,cVsalue] = lbqtest(resss.^2,'lags',12)
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圖 2. 收益率相關性檢驗。Ljung-Box Q 檢驗（左下）沒有顯示顯着的序列自相關作為收益率。

然而，我們可以很容易地識别出絕對收益率值較大的時期叢集（無論收益率的符号如何）。是以，絕對收益值存在明顯的序列相關性。

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圖 3. 回歸平方的相關性檢驗。

GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型

GARCH(1,1) 模型可以用 ​​Matlab​​ 的計量經濟學工具箱進行估計。圖 4 和圖 5 中的 ACF、PACF 和 Ljung-Box Q 檢驗未顯示殘差及其平方值的顯着序列相關性。圖 4 左上圖中的殘差項在視覺上更像白噪聲，而不是原始收益序列。

  1.  Mdls.dsVadjnce = garc(1,1);
  2.  [EsastMdl,EssddkjParamsCovf,lsdoggL,isdjngfo] = estimate(Msddl,rstan);
  3.  [Egf,hgV,logfgL] = inffgher(EstsdMdl,arstn);
  4.  gfh= Egh./sqrt(Vf);
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圖 4. GARCH(1,1) 模型殘差的相關性檢驗。

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圖 5. GARCH(1,1) 模型殘差平方的相關性檢驗。

  1.  plot(at,dad)
  2.  set(gsdcaa);
  3.  set(gasdca);
  4.  ylabel('GARCH Volatility h_t');
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圖 6. GARCH(1,1) 模型的波動率。

馬爾可夫鍊蒙特卡羅 (MCMC)

MCMC 由兩部分組成。 蒙特卡洛 部分處理如何從給定的機率分布中抽取随機樣本。馬爾可夫 鍊 部分旨在生成一個穩定的随機過程，稱為馬爾可夫過程，以便通過蒙特卡羅方法順序抽取的樣本接近從“真實”機率分布中抽取的樣本。

然後我們可以疊代地使用 Gibbs 采樣 方法來産生一系列參數。經常被丢棄，因為它除了使分布正常化之外什麼都不做。後驗分布是不完整的。Metropolis 采樣 方法和更通用的方法 Metropolis  -Hastings 采樣用于此場景。這兩種采樣方法更常用于難以制定完整條件後驗分布的非共轭先驗分布。

1.  % --- MCMC
2.  nmascmfgac = 10000;
3.  bechvzta_mcmc = nan(nmc;dmc,1);
4.  loxvgh_mcmc = nan(an,nmcjkldsmc);
5.  alpha_mcmc = nan(nmcmssdc,length(alspdha0));
6.  Sigmacvv_mcmc = nan(nmytsdcmc,1);
7.   
8.  % --- 吉布斯抽樣：beta
9.  rtnas_new = rtn./sqdssrt(exp(logshis)); % 重新格式化收益系列
10.  x = 1./sqrt(exp(lsogshisd));
11.  V_gfbeta = 1/(x'*x + 1/Sigsgfma_bdeta0);g
12.  E_bgexta = V_bfgetfga*(beta0/Sifgma_beta0+gdfxf'*rtndf_new);
13.  betxa = cnormrnd(E_beta,sqrt(fgV_bfdfgeta));
14.   
15.  % --- Metropolis 抽樣：ht
16.   
17.  loghn1 = alphjklai(1)+alphai(2)*(alphai(1)+alphai(2)*loghi(n-1));
18.  loghf1 = [loghi(2:end); loghn1];前進一步 ht 的 % log
19.  loghb1 = [logh0;羅吉(1:end-1)];後退一步 ht 的 % log
20.  % - 提出新的 ht
21.  lojkghp = normrnd(lohghjkli,sijlgma_jlogjhp);
22.  % - 檢查後驗機率的對數比率
23.  logr = log(normpdf(loghp, [ones(n,1),loghb1]*alphai',sqrt(Sigmavi))) + ...
24.   
25.   
26.  % --- 吉布斯抽樣 alpha
27.  zasdt = [ones(n-1,1),lokkghi(1:end-1)];
28.  V_alpghas = inv( inv(Sigjkmahjg_alpjha0) + zt'*zt/Si;gmavkl;i);
29.  E_aldfhpha = V_alpha*(inv(Sigmjhja_abvnl;'lpha0)*akllpha0' + zt'*loghi(2:end)/Smavi);
30.  alvbphai =v mvnrnd(E_vbal,npnha,V_bnm,bvalpha);
31.   
32.  % --- 吉布斯抽樣：Sigfmav
33.  SfSR = sum((logfgjhi(2:ehgjnd)-zt*alphaighj').^2);
34.  % 通過 OLS 擷取 SSR 的替代方法
35.   
36.  Sigjhavi = 1/randolhkm('Gamma',(nu0+n-1)/2,2/(nu0*Sigmavl;'k0+SSR));
37.

随機波動率 (SV) 模型

對波動率進行随機模組化始于 1980 年代初，并在 Jacquier、Polson 和 Rossi 的論文在 1994 年首次提供了随機波動率的明确證據後開始适用。波動率創新是 SV 和 GARCH 模型之間的主要差別。在 GARCH 模型中，時變波動率遵循确定性過程（波動率方程中沒有随機項），而在 SV 模型中它是随機的。

1.  %% MCMC 用于随機波動率
2.  % --- 先驗參數
3.  Sigwertma_aelpha0 = etdiagweetwr([0.4,0.4]); % 協方差
4.  % - 對于 sigrmea^2_v
5.  nu0 = 1;
6.  Sigemav0 = 0.01；
7.   
8.  % --- 使用 GARCH(1,1) 模型的初始值，以及 log(ht0) 的最小二乘拟合
9.  bewtwai = EstMtydl.rtyConrtystatynt;
10.  MrgeyDL = etyrffitytlm（）；
11.  alpefdgrtyhai = Mdl.Cvxoertyefficients{:,1}';
12.  Sigretyrxmavi = nanvar(Mderyl.Reyefsidrdtyeruals.Raw);
13.

然而，要獲得機率分布的近似形式的歸一化因子并不簡單。我們可以使用暴力計算來為每個可能的值生成一個機率網格，然後從網格中繪制。這稱為 Griddy Gibbs 方法。或者，我們可以使用 Metropolis 算法。在該算法中，要從中提取的提議分布可以是任何對稱分布函數。提議分布函數也可以是不對稱的。但在這種情況下，在計算從 跳到 的機率比率時，需要包含附加項以平衡這種不對稱性。這稱為 Metropolis-Hastings 算法。

可以使用 Metropolis-Hastings 算法的更複雜的提議方法來減少序列中的相關性，例如 Hamiltonian MCMC。

  1.  subplot(4,1,1);
  2.  plot(beasdta_mcmc);
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圖 8. 預燒burin-in後參數序列的自相關。紅線表示 5% 的顯着性水準。

結果與讨論

去除burin-in後，我們從參數的真實高維聯合分布中得到可以近似随機抽取的樣本的參數樣本集合。然後我們可以對這些參數進行統計推斷。例如，成對參數的聯合分布和每個參數的邊際分布如圖 9 所示。我們可以用聯合分布來測試這個說法。顯然與其餘參數不相關。正如預期的那樣，并且高度相關，使用它們的聯合後驗分布來證明采樣的合理性。為了提高采樣效率，降低序列中樣本的相關性，我們可以通過采樣改進上述算法，并從它們的三元聯合後驗分布。然而，如果不是完全不可能的話，為不同先驗分布的變量計算出一個緊密形式的後驗分布是很麻煩的。在這種情況下，Metropolis-Hastings 抽樣方法肯定會發現它的優勢。

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圖 9. 成對參數聯合分布的散點圖（非對角面闆）和參數邊緣分布的直方圖（對角面闆）。

随機波動率及其置信帶是通過計算序列穩定後采樣波動率的均值和 2.5% 和 97.5% 分位數得到的。它繪制在圖 10 中。

1.  h_mcmc = exp(logf_mdsmc);
2.  nbudrin = 4000;
3.  lb = quanile(h_mcd,bunn+1:end),0.025,2); % 2.5% 分位數
4.  ub = quatgjeh_mcmc(nburhjkin+1:end)fhjk,0.975,2); % 97.5% 分位數
5.  holdghfd on; box on;
6.  plot(1:lengtgdhfh(t),V,'',dhfg1)
7.  plot(1:length(t),mdfghean(h_mcmc(:,nburnhgdf:enddgfh2),'linekljwdth',1)s
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圖 10. 4000 次burin-in疊代後随機波動率的後驗平均值。對于置信帶，随機波動率的 95% 分位數間以紅色顯示。

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