天体物理学新概率分布：截断伽玛-帕累托分布在宇宙射线中的应用
引言：伽玛-帕累托分布由引入，并在该文中推导出了其最重要的统计参数。伽玛-帕累托概率密度函数（PDF）模拟了长尾特征以及伽玛类型的左侧行为。首次应用是用于雅加达贾蒂旺吉站的月降雨量数据。
比较广义线性模型（GLM）和伽玛-帕累托模型。对住院时间长度进行了应用。分析了两架最近飞行的客机之间的间距。两个扩展是伽玛-帕累托（IV）和加权伽玛-帕累托分布（WGPD）。
伽玛-帕累托分布的概率密度函数（PDF）如下：f(x;α,c,θ)=(θx)1cln(xθ)α−1xΓ(α)cα,(1)其中α>0，c>0，θ>0，x>θ。其分布函数（DF）为：F(x;α,c,θ)=1+−Γ(α+1,ln(x)−ln(θ)c)+x−1cθ1cc−α(ln(x)−ln(θ))αα Γ(α)。
其均值μ为：μ(α,c,θ)=θ(1−c)−α,(3)方差σ²为：σ²(α,c,θ)=θ²((1−2c)−α−(1−c)−2α),(4)其关于原点的r阶矩μ′r为：μ′r(α,c,θ)=(−cr+1)−αθr,(5偏度μ˜3为：μ˜3(α,c,θ)=−3(−2c+1)−α(−c+1)−α+2(−c+1)−3α+(−3c+1)−α((−2c+1)−α−(−c+1)−2α)32。
峰度μ˜4为：μ˜4(α,c,θ)=ND,(7)其中：N=−4(−c+1)3α(−3c+1)−α(−2c+1)2α+(−c+1)4α(−4c+1)−α(−2c+1)2α +6(−c+1)2α(−2c+1)α−3(−2c+1)2α,(8)D=((−c+1)2α−(−2c+1)α)2,(9)众数Mode为：Mode(α,c,θ)=e(α−1)cc+1θ.(10)。
其中Rz>0。在定义的Pareto PDF为：f(x;a,c)=acx−c−1c,(14)其中c>0，a>0。比较了Pareto和伽玛-帕累托分布的PDF。用于比较的第二个PDF是对数正态分布，根据：fLN(x;m,σ)=e−12σ2(ln(xm))2xσ2π√。
其中m是中位数，σ是形状参数。比较了伽玛-帕累托和对数正态分布。用于比较的第三个分布是双Pareto对数正态分布，其PDF为：f(x;α,β,μ,σ)=12αβ(e12α(ασ2+2μ−2ln(x))erfc(12(ασ2+μ−ln(x))2√σ) +e12β(βσ2−2μ+2ln(x))erfc(12(βσ2−μ+ln(x))2√σ))x−1(α+β)−1)。
其中α>0，c>0，0<θ<x<xu，T表示截断。其分布函数（DF）为：FT(x;α,c,θ,xu)=x1cu(−Γ(α+1,ln((xθ)1c))cα+cαΓ(α+1)+ln(xθ)α(xθ)−1c)cαx1cuΓ(α+1)−cαx1cuΓ(α+1,ln((xuθ)1c))+ln(xuθ)αθ1c,(23)
其平均值为：μT(α,c,θ,xu)=Acαx1cuΓ(α+1)−cαx1cuΓ(α+1,ln((xuθ)1c))+ln(xuθ)αθ1c,(24)其中A=ln (xuθ)α⎛⎝Γ(α+1)cαx1culn(xu(xuθ)−cθ)−αθ −cαx1culn(xu(xuθ)−cθ)−αΓ⎛⎝⎜α+1,ln ⎛⎝⎜θ(xuθ)1cxu⎞⎠⎟⎞⎠⎟θ+xuθ1c⎞⎠⎟.。
截断伽玛-帕累托II分布的概率密度函数定义如下：fDT(x;α,c,θ,xl,xu)=θ1c(x+θ)−1−1cln(1+xθ)α−1cαΓ(α)K′，其中α>0，c>0，xl>0，xu>0，θ>0，且满足xl<x<xu。K′表示一个常数，计算方式为：K′=Γ(α+1,ln((xl+θθ)1c))−Γ(α+1,ln((xu+θθ)1c)) +c−αln(xu+θθ)α(xu+θ)−1cθ1c−c−αln(xl+θθ)α(xl+θ)−1cθ1c。
结论：对截断对伽玛-帕累托和伽玛-帕累托II分布的影响进行了分析，推导了它们的分布函数、均值和方差。对两种现象进行了应用，这些现象通常具有长尾的右侧尾部，通常使用幂律行为进行建模，例如帕累托概率密度函数。
在小行星的情况下，得到了最佳结果，使用了双截断的伽玛-帕累托II函数，而对于宇宙射线（CR），使用了双截断的伽玛-帕累托函数，这些模型允许推导出宇宙射线能量谱的一些解析公式，其中双截断伽玛-帕累托II函数的平均值为2.6 GeV。
