機率論複習（一）：随機變量，分布函數，機率密度

随機試驗

• 可以在相同條件下重複進行
• 每次實驗的實驗結果可能不止一個，而且事先可以明确實驗的所有可能結果
• 進行一次實驗之前，不能确定哪個結果會出現。

随機變量

• 來源：某些随機試驗的結果可以用數表示，如每個月的平均降水量，有些随機實驗因為樣本空間元素不是一個數，無法用數表示。為了将随機實驗的結果和實數對應起來，引入随機變量。
• 定義：随機變量是定義在樣本空間的實值單值函數。例如，在抛硬币問題中，我們将硬币正面朝上映射為實數0，硬币反面朝上映射為實數1。在此問題中，随機變量X=1的機率為1/2,X=0的機率也為1/2。
• 随機變量可分為兩種，離散型随機變量和連續型随機變量。顧名思義，離散型随機變量是指，該變量的取值是有限個或可列無線個，例如硬币問題中，我們明确知道随機變量是取0和1；連續型随機變量是指，該變量的取值是無限個不可列出，例如燈泡的壽命，所可能的取值是一個區間。

分布律(針對離散型随機變量)

• 對于離散型随機變量，需要知道随機變量的所有可能取值以及每個取值的機率，即每個機率一定大于等于1，且機率之和等于1。可了解為，機率1以一定規律分布中各個可能值上。

分布函數

• 對于非離散型随機變量，由于非離散，就不能用分布率來表示，而是使用分布函數，因為我們考慮的不再是随機變量的單個取值時的機率，而是考慮随機變量取值落在的區間的機率。

定義：設X是一個随機變量，x是任意實數，

F(x)=P{X<=x} F ( x ) = P { X <= x }

稱為分布函數。

機率密度

定義：如果對于随機變量X的分布函數F(X)，存在非負可積函數f(x),使對于任意實數x有

F(x)=∫x−∞f(t)dt F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t

則稱X為連續型随機變量，其中函數f(x)成為機率密度。