Gamma分布

Gamma函数可以看作是整数阶乘在实数上的扩展，其定义为

Γ(a)=∫∞0xa−1e−xdx.

使用部分积分法，可以得到

Γ(n)=(n−1)!

对Gamma函数进行变换，可以得到

∫∞0xa−1e−xΓ(a)dx=1.

于是，去积分中的函数作为概率密度函数，就得到最简单的Gamam分布的密度函数

Γ(x|a)=xa−1e−xΓ(a)

对x做变换 x=βt ，可以得到Gamma分布密度函数的一般形式

Γ(a,β)=βata−1e−βtΓ(a)

一般，将随机变量X服从参数 a,β 的Gamma分布记为X~ Γ(a,β) .

独立随机变量的Gamma分布的可加性，即若随机变量 X1,X2,...,Xn 互相独立，且 Xi 服从参数 a,β(i=1,2,...,n) 的Gamma分布，则 ∑n1Xi 服从参数为 ∑n1ai,β 的分布，记为

∑n1Xi ~ Γ(∑n1ai,β)