引入星体物理学的新概率分布：VIII. 截尾威布尔-帕累托分布
引言：在概率分布方面，近年来对标准分布进行了许多修改：威布尔分布的情况。威布尔分布有两个参数，即尺度和形状参数。
为产品寿命设计多个延期接受抽样计划提供一种方法，应力强度模型和碳纤维的断裂强度 。已经提出了NWPD的一些推广。在星体物理学中，概率分布的一个例子是初始质量函数（IMF）的对数正态分布，它可用于模拟 8 个年轻星团。
设 X 是定义在[0，∞]上的随机变量；两参数威布尔分布函数（DF）Fw(x)为Fw(x;b,c)=1−e−(xb)c，其中 b 和 c 均为正值，分别为尺度和形状参数。NWPD也定义在[0，∞]上：F(x;a,b,c)=1−e−a(xb)c，其中 a 是一个新的正形状参数，其概率密度函数（PDF）f为f(x;a,b,c)=a(xb)c−1c e−a(xb)cb
为伽玛函数。平均值或均值μ为μ(a,b,c)=bΓ0ca1c，方差σ^2为σ^2(a,b,c)=a−2cb2(Γ2c2−Γ20)c2。
偏度为skewness(a,b,c)=Γ3c3−3Γ2Γ0c2+2Γ30(Γ2c2−Γ20)32，峰度为kurtosis(a,b,c)=c4Γ4−4c3Γ0Γ3+6Γ20Γ2c2−3Γ40(Γ2c2−Γ20)2，第r阶原点矩对于NWPD为μ′r(a,b,c)=brΓ(rc)rc arc，其中r为整数。中位数为eln(ln(2))−ln(a)cb，众数为(c−1ac)1cb。
右截尾和左截尾的NWPD，定义在区间[xl,xu]上，其概率密度函数为fDT(x;a,b,c,xl,xu)=axc−1b−cc e−axcb−c−e−axcub−c+e−axcub−c，其中a、b、c、xl和xu是正参数，DT表示双截尾。累积分布函数为DDT(x;a,b,c,xl,xu)=−e−axcub−c+e−axcb−ce−axcub−c−e−axcub−c
平均值为μDT(x;a,b,c,xl,xu)=1(e−axcub−c−e−axcub−c)(c+1)(2c+1)(3c+1) ×((4a−2c+12ce−axcub−c2bc(c+12)2x12−cuM2c+12c,3c+12c(axcub−c) −4a−2c+12cx12−cue−axcub−c2bc(c+12)2M2c+12c,3c+12c(axcub−c) +(e−axcub−c2(2x12−cubc(c+12)a−2c+12c+xl−−√a−12cc)M12c,3c+12c(axclb−c) −M12c,3c+12c(axcub−c)(2x12−cubc(c+12)a−2c+12c+xu−−√a−12cc)e−a xucb−c2)c)b√ c)
其中Mμ, ν(z)是Whittaker M函数。
1b(−e−axcub−c+e−axclb−c)(−(b−cxcle−axclb−can−b−ce−axcub−cxcuan −b−ce−axclb−c(∑i=1nxci)a+b−ce−axcub−c(∑i=1nxci)a+e−axclb−cn−e−axcub−cn)c)=0，26式为下面的方程，其中xi是实验样本的元素，i在1到n之间变化。为了推倒NWPD LF，从方程（3）给出的PDF开始，Ψ(L;a,c,L*,Ψ*)dL=Ψ*a(LL∗)cc e−a(LL∗)cL dL
其中L是定义在[0，∞]上的亮度，L是特征亮度，Ψ是归一化值，即每立方Mpc中的星系数目。现在引入以下与绝对星等和亮度相关的有用公式LL⊙=100.4(M⊙−M),LL⊙=100.4(M⊙−M)
结论：截尾Weibull-Pareto分布。推导了概率密度函数(PDF)、分布函数(DF)、平均值、r阶矩、中值以及生成随机变量的表达式。参数a、b和c可以通过MLE或矩法来推导截尾Weibull-Pareto分布。
NWPD的第三个参数a增加了通常Weibull分布的灵活性，四个星星样本的参数，但由于公式的缘故，缩小的χ2并没有比Weibull分布更低。
绝对星等版本的NWPD LF通过使用标准和截尾DF进行推导。将其应用于SDSS星系和红移范围为[0.3,0.5]的类星体时，缩小的优化函数比使用Schechter LF更低。
使用NWPD LF来模拟在星系目录中可见的给定固定角度下随红移变化的星系数量最大值。2 MRS星系的平均绝对星等随红移变化的函数，可以通过截尾NWPD LF进行理论建模。
