【概率论】随机变量及其分布

离散型随机变量

一、定义

当随机变量的取值为有限个或者可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量

二、性质

• $p_{i}\geq 0,\quad i=1,2,\cdots$
• 规范形：$\sum\limits^{\infty}{i=1}p{i}=1$

三、表示方法

• $P{X=x_{i}}=p_{i},\quad i=1,2,\cdots$
• 列表法

四、三种重要的离散型随机变量

1. $0-1$分布

设随机变量$X$只可能取$0$与$1$两个值，它的分布律为$P{X=1}=p,P{X=0}=1-p$

2. 二项分布

如果随机变量$X$的分布律为$P{X=k}=C^{k}_{n}p^{k}q^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n$，其中$0<p<1,q=1-p$，则称$X$服从于参数为$n,p$的二项分布，记作$X\sim B(n,p)$

3. 泊松分布

如果随机变量$X$的分布律为$P{X=k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots$，其中$\lambda>0$为常数，则称随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$

随机变量的分布函数

一、定义

设$X$是一个随机变量，$x$是任意常数，函数$F(x)=P{X\leq x},-\infty<x<+\infty$称为$X$的分布函数

二、性质

• $F(x)$是一个单调不减函数
• $0\leq F(x)\leq 1$
• 规范性：$F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$
• $P{x_{1}<X\leq x_{2}}=P{X\leq x_{2}}-P{X\leq x_{1}}=F(x_{2})-F(x_{1})$

连续型随机变量及其概率密度

一、定义

如果对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$，使对于任一实数$x$，均有$F(x)=\int^{x}_{-\infty}f(t)dt$，则称$X$为连续型随机变量，$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度

二、概率密度的性质

• $f(x)\geq0$
• $\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=1$
• 对于任意实数$x_{1},x_{2}(x_{1}\leq x_{2}),P{x_{1}<X<\leq x_{2}}=F(x_{2})-F(x_{1})=\int^{x_{2}}{x{1}}f(x)dx$
• 若$f(x)$在点$x$连续，则有$F'(x)=f(x)$

例1：设随机变量$X$具有概率密度$f(x)=\begin{cases}kx,\quad 0\leq x<3\2-\frac{x}{2},\quad 3\leq x<4\0,\quad \text{其他}\end{cases}$

• 确定常数$k$的值

      $\int^{+\infty}{-\infty}f(x)dx=1=\int^{3}{0}kxdx+\int^{4}_{3}(2-\frac x2)dx=1\Rightarrow k=\frac{1}{6}$

• 求$X$的分布函数$F(x)$

      $\begin{aligned}F(x)&=P{X\leq x}=\int^{x}{-\infty}f(t)dt\&=\left{\begin{aligned}&0,\quad &x<0\&\int^{0}{-\infty}0dx+\int^{x}{0}\frac 16tdt=\frac{x^{2}}{12},&0\leq x<3\&\int^{3}{0}\frac 16 xdx+\int^{x}_{3}(2-\frac{t}{2})dt=-3+2x-\frac{x^{2}}{4},&3\leq x<4\&1,\quad&x\geq 4\end{aligned}\right.\end{aligned}$

• 求$P{1<X\leq \frac{7}{2}}$

      $P{1<x\leq \frac{7}{2}}=F(\frac{7}{2})-F(1)=\frac{41}{48}$

三、三种重要的连续型随机变量

1. 均匀分布

若连续型随机变量$X$具有概率密度$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},a<x<b\0,\quad \text{其他}\end{cases}$，则称$X$在区间$(a,b)$服从均匀分布，记为$X\sim U(a,b)$

2. 指数分布

若连续型随机变量$X$服从概率密度为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0\0,\quad\text{其他}\end{cases}$，其中$\theta>0$为常数，则称$X$服从参数为$\theta$的指数分布，记为$X\sim E(\theta)$

3. 正态分布