【機率論】随機變量及其分布

離散型随機變量

一、定義

當随機變量的取值為有限個或者可列無限多個，這種随機變量稱為離散型随機變量

二、性質

• $p_{i}\geq 0,\quad i=1,2,\cdots$
• 規範形：$\sum\limits^{\infty}{i=1}p{i}=1$

三、表示方法

• $P{X=x_{i}}=p_{i},\quad i=1,2,\cdots$
• 清單法

四、三種重要的離散型随機變量

1. $0-1$分布

設随機變量$X$隻可能取$0$與$1$兩個值，它的分布律為$P{X=1}=p,P{X=0}=1-p$

2. 二項分布

如果随機變量$X$的分布律為$P{X=k}=C^{k}_{n}p^{k}q^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n$，其中$0<p<1,q=1-p$，則稱$X$服從于參數為$n,p$的二項分布，記作$X\sim B(n,p)$

3. 泊松分布

如果随機變量$X$的分布律為$P{X=k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots$，其中$\lambda>0$為常數，則稱随機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，記為$X\sim P(\lambda)$

随機變量的分布函數

一、定義

設$X$是一個随機變量，$x$是任意常數，函數$F(x)=P{X\leq x},-\infty<x<+\infty$稱為$X$的分布函數

二、性質

• $F(x)$是一個單調不減函數
• $0\leq F(x)\leq 1$
• 規範性：$F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$
• $P{x_{1}<X\leq x_{2}}=P{X\leq x_{2}}-P{X\leq x_{1}}=F(x_{2})-F(x_{1})$

連續型随機變量及其機率密度

一、定義

如果對于随機變量$X$的分布函數$F(x)$，存在非負可積函數$f(x)$，使對于任一實數$x$，均有$F(x)=\int^{x}_{-\infty}f(t)dt$，則稱$X$為連續型随機變量，$f(x)$稱為$X$的機率密度函數，簡稱機率密度

二、機率密度的性質

• $f(x)\geq0$
• $\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=1$
• 對于任意實數$x_{1},x_{2}(x_{1}\leq x_{2}),P{x_{1}<X<\leq x_{2}}=F(x_{2})-F(x_{1})=\int^{x_{2}}{x{1}}f(x)dx$
• 若$f(x)$在點$x$連續，則有$F'(x)=f(x)$

例1：設随機變量$X$具有機率密度$f(x)=\begin{cases}kx,\quad 0\leq x<3\2-\frac{x}{2},\quad 3\leq x<4\0,\quad \text{其他}\end{cases}$

• 确定常數$k$的值

      $\int^{+\infty}{-\infty}f(x)dx=1=\int^{3}{0}kxdx+\int^{4}_{3}(2-\frac x2)dx=1\Rightarrow k=\frac{1}{6}$

• 求$X$的分布函數$F(x)$

      $\begin{aligned}F(x)&=P{X\leq x}=\int^{x}{-\infty}f(t)dt\&=\left{\begin{aligned}&0,\quad &x<0\&\int^{0}{-\infty}0dx+\int^{x}{0}\frac 16tdt=\frac{x^{2}}{12},&0\leq x<3\&\int^{3}{0}\frac 16 xdx+\int^{x}_{3}(2-\frac{t}{2})dt=-3+2x-\frac{x^{2}}{4},&3\leq x<4\&1,\quad&x\geq 4\end{aligned}\right.\end{aligned}$

• 求$P{1<X\leq \frac{7}{2}}$

      $P{1<x\leq \frac{7}{2}}=F(\frac{7}{2})-F(1)=\frac{41}{48}$

三、三種重要的連續型随機變量

1. 均勻分布

若連續型随機變量$X$具有機率密度$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},a<x<b\0,\quad \text{其他}\end{cases}$，則稱$X$在區間$(a,b)$服從均勻分布，記為$X\sim U(a,b)$

2. 指數分布

若連續型随機變量$X$服從機率密度為$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0\0,\quad\text{其他}\end{cases}$，其中$\theta>0$為常數，則稱$X$服從參數為$\theta$的指數分布，記為$X\sim E(\theta)$

3. 正态分布