4月份考試結束了，同時也宣告了，自己求快複習方案的失敗。僅靠殘存的知識，直接做題，複習方案的失敗。功利的下場就是連題都不知在說什麼，尤其是數學類的，沒有建構起體系知識前，就不要做題。
知識點：
-
空間直角坐标系？？
規定是用右手法則來确定的，大拇指向Z軸，四個指尖指向Y軸，四個指背指向x軸。坐标系将空間分成八個卦限，正對xyz方向為第一卦限，逆時針旋轉，分别為2~4，第一卦限下方為第五卦限。如下圖所示：
坐标系裡的點M記為：M(x,y,z).
高等數學複習之空間解析幾何 -
空間兩點間的距離公式？？
P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如下圖所示：求解思路是求解在空間各點的增量，進而将增量投影到觀察面中，由于是同一個面，組成一個三角形，求解面積即可得到距離。
高等數學複習之空間解析幾何 ∣ P 1 P 2 ∣ = ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 + ( z − z ) 2 |\mathrm{P} 1 \mathrm{P} 2|=\sqrt{(x-x)^{2}+(y-y)^{2}+(z-z)^{2}} ∣P1P2∣=(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2
第一個需要記憶的公式
-
0向量？自由向量？機關向量？？向量之間的位置關系？
0向量：長度為0的向量，方向可以任意，
機關向量，長度為1的向量。
自由向量：平移得到的向量（相對原向量來講）
位置關系：夾角： ( A , B ) ^ \widehat{(A, B)} (A,B)
範圍: 0 < ( A , B ) ^ < π 0<\widehat{(A, B)}<\pi 0<(A,B)
<π 平行： α ∥ β \alpha \| \beta α∥β 垂直： α ⊥ β \alpha \perp \beta α⊥β
-
向量的運算？？
加減法：符合平行四邊形法則和三角形法則：如下圖所示：
高等數學複習之空間解析幾何 注：“減法” 如何解釋呢？
如下圖所示：
線性規則： 高等數學複習之空間解析幾何
- 交換律：a+b=b+a;
- 結合律(加法）： ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta})+\gamma=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)
- 數乘：向量與數的乘法；在原向量基礎上擴大或向相反方向擴大多少倍。性質：數與向量都分别滿足結合律和配置設定律。
-
投影：記為：Prju A B ‾ \overline{A B} AB在u軸上的投影向量。投影具有平移不變性，是以，當平移一個向量與坐标軸u相交時，Prjua=|a|cos φ \varphi φ; φ \varphi φ是向量a與坐标軸u的夾角。這其實是投影定理。性質：投影滿足向量的配置設定律及數乘時，數可以提出來。有了投影，就可以表示向空間點的坐标，記為：{ax,ay,az},給定兩點的向量可以表示為： M 1 M 2 → = ( x 2 − x 1 ) i + ( y 2 − y 1 ) j + ( z 2 − z 1 ) k = { x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 } \begin{aligned} \overrightarrow{M_{1} M_{2}} &=\left(x_{2}-x_{1}\right) i+\left(y_{2}-y_{1}\right) j+\left(z_{2}-z_{1}\right) \boldsymbol{k} \\ &=\left\{x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right\} \end{aligned} M1M2
=(x2−x1)i+(y2−y1)j+(z2−z1)k={x2−x1,y2−y1,z2−z1};i,j,k分别為x,y,z軸上的機關向量。
-
數量積：a.b=|a|.|b|cos Θ \Theta Θ(這個就是數量積的定義，不是由别的公式推導而來), Θ \Theta Θ還是向量a,b的夾角。是以如果，a.b=0,說明兩個向量是垂直的,因為cos π 2 = 0 \frac{\pi}{2}=0 2π=0。數量積是關于向量模的運算，不在乎方向，隻關注數量
由投影的定義可得b在a上的投影Prja b=|b|cos Θ \Theta Θ是以a.b=|a| . |b| cos Θ \Theta Θ= |a| Prja b.
數量積的坐标形式：a{a1,a2,a3},b{b1,b2,b3},那麼 a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
- 向量積：a X b,不能單純用等式來表示了，因為有了方向要化成三階行列式形式（帶了機關向量）是以，向量積的坐标表示： a × b = ∣ a y a z b y b z ∣ i − ∣ a x a z b x b z ∣ j + ∣ a x a y b x b y ∣ k = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ll}a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z}\end{array}\right| \boldsymbol{i}-\left|\begin{array}{ll}a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z}\end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{cc}a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y}\end{array}\right| \boldsymbol{k}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right| a×b=∣∣∣∣aybyazbz∣∣∣∣i−∣∣∣∣axbxazbz∣∣∣∣j+∣∣∣∣axbxayby∣∣∣∣k=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣，大小是：|a X b|=|a|.|b|.sin Θ \Theta Θ. Θ \Theta Θ還是向量a,b的夾角.另一個是a X b的方向是垂直于a與b所在的平面，符合右手法則。是以，如果aXb=0,說明兩向量是平行的（隻用向量積的大小公式就可以證明必要性，充分性更好證明，即平行可得大小公式或零向量）。如下圖：[外鍊圖檔轉存失敗,源站可能有防盜鍊機制,建議将圖檔儲存下來直接上傳(img-FmmTZyp6-1622643680621)(pj6.jpg)],反交換律：axb=-(axb)是整體前面加了負号，而不是bxa,是以是反交換律。及結合律及配置設定律。
5.空間中的圖形？？
曲面方程：可以看作是空間中的點的運動軌迹滿足方程F(x,y,z).方程解集滿足圖形的包含關系，曲面上關于平面對稱點，也滿足方程的對稱點表示。
- 旋轉曲面：曲線繞平面的一條直線旋轉，所生成的曲面。繞坐标軸旋轉，可以直接由曲線方程寫出曲面方程：如圖：
高等數學複習之空間解析幾何 曲線f(y,z)繞Z軸旋轉，旋轉曲面上的點到z軸的距離是相等的，根據這個規律，寫出距離方程 y 1 = ± x 2 + y 2 y1=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} y1=±x2+y2
,曲面方程就是用這個距離代替原來的y,是以可以表示為： f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0 f(±x2+y2
,z)=0，繞的哪個軸旋轉，則曲線中的哪個不變。如上式中的z
- 柱面：在一個面上的曲線（準線），沿曲線不停的作平行于另一軸的線，形成的曲面就是柱面，特點是：空間中的柱面方程與準線方程是一樣的。如下圖所示：
高等數學複習之空間解析幾何
空間中的曲線一般方程：可以看作是兩個曲面的交線，是以可以看作是兩個曲面方程組的解，是曲線上的點。這裡還是比較抽象的，一般的思維是線到面，這裡反倒求面的交線，主要是為了數學實作，因為前面曲面方程已經可以表示了，還是由已知推導未知的思想！
- 空間曲線的參數方程：思想是将曲線上的動點的坐标(x,y,z)分别表示成參數t的函數得到空間曲線的參數方程： { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)\end{array}\right. ⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
- 空間曲線在坐标面上的投影：思想是：**在知道曲線的一般方程後，向哪個面投影，就消去方程組中垂直于哪個面坐标軸的變量表示，得到f(a,b),根據柱面知識，這就是柱面方程形式，進而可以用柱面方程表示投影柱面和投影曲線。**如下圖所示：
高等數學複習之空間解析幾何 -
空間中的平面與直線
空間中的平面：
點法式方程：由平面上一點P0(x,y,z)與平面的法向量n={A,B,C}确定,這裡确切的說應該是經過點p0與法向量垂直.，根據垂直的充要條件，兩個向量的數量積等于0，是以n.pp0=0: A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0,如下圖所示,
高等數學複習之空間解析幾何 注：[^1]背後隐藏的原理：平面過一點，法向量垂直與平面，那麼必有平面有一個交點垂足，進而兩點确定一條直線，這裡就有個邏輯上的問題了，三點确定一個平面，這裡隻有兩個點如何唯一确定一個平面呢？？第三個點在哪裡呢？肯定是有第三個點的，這個第三點就是上面公式所要解決的問題，反向推理，假設存在第三點p0(x0,y0,z0),那麼法向量與p0p一定是點乘等于0，進而求得公式。
特殊位置的平面方程：
由點法式公式展開，可得到一般方程 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0，這裡的ABC是特指的，不再是系數了，而是指法向量.所謂特殊位置指的就是法向量坐标其中之一為0時的情形：
A=0;法向量為{0,B,C}與基本機關向量i{1,0,0}垂直，是以平面與x軸平行。
解釋：詳見注[2]注[3]
B=0;與y軸平行
c=0;與z軸平行
D=0;平面是過原點,詳見注[^4]
A=D=0;通過x軸（A=0千成不要以為隻有垂直時平行x軸，其實是切x軸全長的，D=0是過原點，是以隻能是過x軸）
A=B=0;平行于xoy面，可化簡成z=h形式。（相當于這個法向量在x軸上與y軸的投影都為零，那隻能是Z軸，與z軸垂直的面就是平行于xoy的面）。
A,B,C,D都不為0，與三個坐标軸必有一個交點坐标為(a,b,c),這個坐标稱為在xyz軸上的截距。 x a + y b + z c = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 ax+by+cz=1這個公式稱為截距式方程。
截距的定義是很好了解的，關鍵是如何由一般方程取得截距？？？？
1、寫出一般方程表達式：Ax+By+cZ+D=0
2、D移到等号右邊 Ax+By+cZ=-D
3、等号兩邊同時除以-D （Ax+By+cZ）/ (-D)=1化簡成截距方程的形式，可以截距。
注：[^2]法向量能否從空間中想像的到呢？{0,B,C}是什麼樣子的呢？
由于是向量，是以肯定是空間中的一條有方向的直線，那麼向量任取兩點，那向量A=0的坐标形式x2-x1=0,能說明什麼呢？肯定是垂直切x軸的一個面
注[^3]:想像一下與x軸平行的樣子？？？
接:注[^2],既然法向量是切x軸的一個面，那麼與法向量垂直的面，要麼是切y軸要麼是切z軸，但總之是與x軸平行，有無數個這樣的面。
注：[^4]D=0是什麼樣子的呢？
D其實是點法式方程的展開後，-(Ax0+By0+Cz0),因為（x0,y0,z0)幾何上表示的是已知點p0.又因為D=0,而前面的法向量{A,B,C}不全為0，是以隻能是已知點就是原點(0,0,0),所在無論法向量的三個坐标值有沒有為0的，平面肯定是過原點的。
兩個平面的位置關系：
夾角：定義為兩個平面法向量平面夾角中的銳角。 cos θ = ∣ cos ( ( n 1 , n 2 ) ^ ) ∣ \cos \theta=\left|\cos \left(\widehat{(n1, n2)}\right)\right| cosθ=∣∣∣cos((n1,n2)
)∣∣∣，法向量夾角餘弦的絕對值等于兩平面夾角的餘弦。利用前面數量積的公式，可求得 c o s ( θ ) cos(\theta) cos(θ),如下圖所示:
高等數學複習之空間解析幾何 兩平面特殊的位置關系：垂直：點乘為0，也就是A1A2+B1B2+C1C2=0
平行： A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}} A2A1=B2B1=C2C1
這裡一定要與向量平行充要條件aXb=0要區分開來，也就是要想像出向量平行的樣子？？？平面平行的樣子？？？
向量平行時，aXb=0，最有效的了解是，aXb的方向是同時垂直于a,b（也就是ab所确定平面），而=0時，要麼是，a或b是零向量，要麼就是aXb與ab同一個面，而aXb的方向同一面上與ab垂直，那隻能是ab平行了。
平面平行，法向量是平行的，這裡一定要了解法向量隻代表平面的方向，不太注重大小，可以長度就是機關長度。法向量平行的，其實不光是法向量，隻要是向量平行，那他們的坐标一定是成比例的，這其實是個定理。深究一下也可以，這個定理就是共線定理，若b≠0，則a//b的充要條件是存在唯一實數λ，使向量a=λ向量b。是以平行向量，也叫共線向量。
空間中的直線：
點向式方程（也叫對稱式方程）：由直線上的一個點p(x,y,z)和直線一個方向向量v={l,m,n}。注：什麼是方向向量呢？就是與直線平行的非零向量。由平行可知，對應點的坐标是成比例的。是以直線上任意一點滿足： x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n \frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_{0}}{m}=\frac{z-z_{0}}{n} lx−x0=my−y0=nz−z0,如下圖所示：
高等數學複習之空間解析幾何 參數式方程：令點向式方程： x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n = t \frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_{0}}{m}=\frac{z-z_{0}}{n}=t lx−x0=my−y0=nz−z0=t，則xyz都可用t來表示： { x = x 0 + l t y = y 0 + m t z = z 0 + n t \left\{\begin{array}{c}x=x_{0}+l t \\ y=y_{0}+m t \\ z=z_{0}+n t\end{array}\right. ⎩⎨⎧x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt
兩條直線的位置關系：
夾角：定義為兩條直線方向向量夾角中的銳角。設兩直線方向向為v1{l1,m1,n1},v2{l2,m2,n2},于是 cos θ = ∣ cos ( ( v 1 , v 2 ) ^ ) ∣ \cos \theta=\left|\cos \left(\widehat{(v1, v2)}\right)\right| cosθ=∣∣∣cos((v1,v2)
)∣∣∣，其他兩直線夾角餘弦的計算公式，垂直，平行，與平面夾角是類似的。
直線與平面的夾角：直線與其在平面上投影的直線的夾角。夾角[0,90o].直線方向向量v與平面的法向向量n的夾角中銳角 θ \theta θ與直線與平面夾角 ϕ \phi ϕ 互餘。是以 cos θ = ∣ cos ( ( v , n ) ^ ) ∣ \cos \theta=\left|\cos \left(\widehat{(v, n)}\right)\right| cosθ=∣∣∣cos((v,n)
)∣∣∣， sin ϕ = ∣ cos ( ( v , n ) ^ ) ∣ \sin \phi=\left|\cos \left(\widehat{(v, n)}\right)\right| sinϕ=∣∣∣cos((v,n)
)∣∣∣. 直線與平面夾角正弦計算公式與平面與平面，直線與直線類似，但平行與垂直不同，垂直是成比例，平行是坐标乘積等于0（因為是互餘關系）
點到平面的距離公式： d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 8 . d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{8}}} . d=A2+B2+C8
∣Ax0+By0+Cz0+D∣.(A,B,C)是平面的法向量,(x0,y0,z0)是點。推導就是用了數量積，法向量與點到平面的向量數量積。、
- 常見的二次曲面
什麼是二次曲面？是由三元二次方程确定的曲面。注：平面是三元一次方程。
球面、圓柱面、旋轉抛物面都是二次曲面。其他常見二次曲面：
橢球面：
方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1( a2x2+b2y2+c2z2=1( 其中, a > 0 , b > 0 , c > 0 ) a>0, b>0, c>0) a>0,b>0,c>0)當a=b=c時，x^2 + y^2 + z^2= a^2,即球面。
當a,b,c有兩個相等時，方程表示為旋轉橢球面。
橢圓抛物面：
方程： z = x 2 a 2 + y 2 b 2 ( z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}( z=a2x2+b2y2( 其中, a > 0 , b > 0 a>0, b>0 a>0,b>0 )
當a=b時，z=(x^2 + y^2) / a^2;變成了旋轉抛物面。
随圓錐面：
方程： z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 ( z^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \quad( z2=a2x2+b2y2( 其中, a > 0 , b > 0 ) a>0, b>0) a>0,b>0)
當a=b,變成圓錐面。
當z=sqr(x^2 + y^2),表示頂點在原點開口朝上的圓錐面
當z=-sqr(x^2 + y^2),表示頂點在原點開口朝下的圓錐面
單葉雙曲面：了解下就行！！
方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad a2x2+b2y2−c2z2=1 (其中, a > 0 , b > 0 , c > 0 a>0, b>0, c>0 a>0,b>0,c>0 )
雙葉雙曲面：
方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 a2x2+b2y2−c2z2=−1 (其中, a > 0 , b > 0 , c > 0 ) \left.a>0, b>0, c>0\right) a>0,b>0,c>0)
總結：看了下，高數第一章的内容，斷斷續續進行了一個多月，還是有些壓力的。也可能是基礎太差了吧！到這裡算是一個了結，先放一 下吧！集中精力，備考另外三科！有所得最重要，至于過不過的，順其自然！