作者 | 吳文俊(研究員，中國科學院系統科學研究所，中國科學院院士)
來源 |《科學》（雙月刊）2003年3月（55卷2期）
前篇：中國古算與實數系統（一）
關鍵詞：實數系統位值制《九章算術》劉徽《九童算術注》
與古希臘歐幾裡得系統的形數脫節者不同，中國古代數學中形與數是從來形影不離的。線段總是賦有長度，平面與立體都賦有面積與體積。正是由于長度與其他各種量度所需進行的計算産生了有理數、小數以及實數系統。
從開方到無理數
《九章算術》(以下簡稱為《九章》)的第四章《少廣》處理積幂方圓一類的問題，共24題。其中第12至16題是已知正方形的面積，求邊長，相當于現代的開平方。第19至22題是已知正立方體的體積，求邊長，相當于現代的開立方。其中開方的方法是“開方術”，術文如下：“開方術曰：置積為實，借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其複除，折法而下。複置借算，步之如初，以複議一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。複除折下如前。若開之不盡者為不可開，當以面命之。”
術文中的“法”“實”“借”“步”“等”“除”等都是當時用的專門名詞，術文中的“除”在古時相當于現代的“減法”，而非現代的“除法”。
在劉徽的《九章算術注》(以下簡稱為《劉注》)中，開(平)方的算法有着明确的幾何背景。《劉注》不僅有法，而且有圖，圖中各區塊還分别繪以朱、黃、青等不同彩色，并标注甲、乙等以示差別，如黃甲、黃乙、青幂等。
這些圖都已遺失不存，但根據《劉注》，還可以推斷出彩圖的大緻情況。
《九章·少廣》題12中求，就是求面積為55225的正方形的邊長。方法是依照十進位位值制，盡量從左下角割取最大的小正方形。首先邊長應以百計，“百”相當于術文中的“等”，經過嘗試(“議”)，可以割取邊長為200的正方形，但邊長不能取為300，于是在左下方割取邊長200的正方形黃甲；再次以10計(“等”為10)，再作嘗試，于是黃甲擴大為由黃甲+2朱幂+黃乙所成的正方形，其邊長為230；再取“等”為1并經嘗試，知若取235為邊作正方形則原正方形适取盡。由此知黃甲、朱幂、青幂的邊長為200，30，5，而所求邊長即平方根為200+30+5=235。
上例中開方适盡，一般說來自然并非如此，但計算的原理是相同的。試以為例，從面積為20000的正方形左下角依次割取逐漸增大的正方形，其邊長依次為100，100+40=140與100+40+1=141，但此時仍有一餘下的曲邊形，其面積為20000-=119。
對于整數開方不盡的情形，《劉注》說：“術或有以借算加定法而命分者，雖粗相近，不可用也。凡開積為方，方之自乘當還原其積分，今不加借算而命分，則常微少，其加借算而命分，則又微多。其數不可得而定，故惟以面命之，為不失耳。”
《劉注》指出：舊法(即“術”)在開方不盡的情形，往往加上一分數(“命分”)作為平方根，用現代形式即為取a+r/(2a)或a+r/(2a+1)作為的值。此值雖與真值近似(“粗相近”)，但并不正确(“不可用也”)，其原因是平方根平方後應還原為原來的數值，而上述加分數後的值平方後不是偏多就是偏少，因而隻能作為近似值。正因為如此，隻能引進一種新類型的數，把真正的平方根定義為新型的數，稱為“面”(“以面命之”)。《劉注》還以分數為例，說“譬猶以三除十，以其餘為三分之一，而複其數可舉”，這說明因開方需要而引進新類型的數叫“面”，和由于除法的完成而引進新類型的數“分數”，道理是一樣的。
《九章》與《劉注》依據已知正方形面積求邊長的幾何問題，通過幾何背景得出求邊長的算法，稱為“開(平)方術”。由此引進了一種與有理數不同的新型數“面”，相當于現代的一種(根式)無理數。這種引進既簡單又自然，由于數與形的結合，根本上排除了數學危機出現的可能，這種東西方處理問題的不同思維方式與所起的後果，頗為耐人尋味，值得深思。
《劉注》所說“凡開積為方，方之自乘當還複其積分”，實質上相當于“面”這種新型無理數的定義，也相當于下面的公式
其中A是非負整數，但也可以是非負有理數。事實上，“開(平)方術”文中說：“若實有分者，通分内子為定實。及開之，訖，開其母報除。”又說：“若母不可開者，又以母乘定實，乃開之，迄，令如母而一。”這相當于公式
在《劉注》其他部分，還有一些類似的公式。
開立方的情形與開平方相似，《九章》中相應的開立方術與開(平)方術類似，也是從求已知體積的正立方體的一邊的問題出發，通過幾何考慮而形成算法，但這種從幾何到算法的過程并不簡單。
問題是開四次方、五次方等等該怎麼辦，這時幾何背景完全消失，如果說古代就有多元空間的概念是不可思議的，也決不可能是事實，但是在中國到了宋代，北宋賈憲(約11世紀)作出的開方作法本原圖，與後代關于二項式系數的帕斯卡三角形實質上相同.賈憲據此給出了開高次方的算法，顯然他不是從幾何考慮得出這種算法，而是從開平方術與開立方術的算法得出，其過程不得而知，但其思維之深邃與技巧之精微又不能不令人心折。
無窮小數的引進
對開平立方而言，劉徽并未止步于引進“面”，而進一步發展了一種意義重大的創新，考慮另一種方法：“不以面命之，加定法如前，求其微數。微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱幂雖有所棄之數，不足言之也。”
仍以20000開平方為例，=141+所餘微數。過去到此為止，但劉徽進一步指出，由中國的十進位位值制記數法，也能将上述運算繼續進行，取“等”為1/10，1/100，等等，求得所割正方形邊長将為141+4/10，141+4/10+1/100，這一過程可無限制地進行下去，而且所棄去的“微數”将愈來愈小，以至于可以忽略不計(“不足言之也”)。用現代語言來說，這一新型的數“面”是某一數列的極限。
=極限(141，141.4，141.41，··)。
由此劉徽不僅引進了小數，還通過極限過程引進了無窮小數，并用于圓周率π的具體計算。《九章·方田》章涉及的是田畝面積的計算，《劉注》詳細說明了其中應用的“圓田術”的原理與方法，還包含了π的計算。
在已知圓半徑的條件下，劉徽從圓内接正六邊形(“六觚”)出發，逐漸求得内接正十二邊形、正二十四邊形至正一百九十二邊形周長的小數近似值，以及正九十六邊形與正一百九十二邊形的面積近似值。在注文中的“割六觚以為十二觚術”，以至“割四十八觚以為九十六觚術”中有詳細的計算說明。
在上述計算中應用了勾股定理，而且這一計算過程随着邊數逐次加倍可以無限制地進行下去。劉徽特别指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。”換言之，若以A表示圓的面積，以An表示圓内接正n邊形的面積，則
A-A6,A-A12，A-A24，…
将無限制地減少，以至于可以略去不計(“而無所失矣")。用現代的語言來說，即是A-A3·2随着n的增加其極限為0，或A3·2随着n的增加其極限為A即圓的面積(“與圓合體”)。
這種極限概念與方法，不僅見于開方及圓周率的計算，還見于立體體積的計算。在《九章·商功》的“陽馬術”中，即有：“半之彌少，其餘彌細，至細曰微，微則無形，由是言之，安取餘者。”這也是一種極限過程。由此劉徽建立了中算中極為突出的體積理論，這是中國古算最為光輝的一頁。
劉徽關于小數的引入，得力于中國上古的位值制十進位記數法。如果用現代的記法，則他所定義的實數是一種無窮小數
其中，9或0，位值則為。它是單調增或減序列,,…,的極限值。
魏爾斯特拉斯用有理數的單調增或減的序列來定義實數，與劉徽的方法頗為類似。但兩者比較，前者的定義是一般的、抽象的，而劉徽的定義方法則是特殊的、具體的。是以，實數的種種法則：實數的等價或等值、實數運算規律、實數的完備性等，在魏爾斯特拉斯意義下的證明不無煩瑣，但在劉徽意義下(包括有理數相當于循環小數)證明起來要直截了當得多。順便一提，劉徽這種實數的具體表示方法，曾被康托爾用以證明實數集不能與可數集等價，僅此一端，即可知該方法蘊藏着其他方法難以比拟的威力。
根據以上所述，可以得出結論：早在公元263年時，劉徽即已認證十進制小數以及極限過程完成了現代意義下的實數系統。
最後必須指出，最早了解《九章》中所謂“以面命之”意指定義某種無理數并稱為“面”的是李繼闵，他并指出了《九章》與《劉注》中有着許多這種無理數“面”的計算方法與一般法則。
參考文獻
[1]顧今用.中國古代數學對世界文化的偉大貢獻.數學學報，1975,18(1):18
[2]莫裡斯·克萊因著，張理京等譯，古今數學思想，上海：上海科學技術出版社，1979
[3]李俨.中國算學史.上海：商務印書館，1937
[4]李繼闵.《九章算術》及其劉徽注研究.西安：陝西人民教育出版社，1990
[5]李繼闵.《九章算術》導讀與譯注.西安：陝西科學技術出版社，1998
[6]李文林.數學史概論，第二版.北京：高等教育出版社，2002
[7]李文林.數學珍寶——曆史文獻精選.北京：科學出版社，1998
[8] 錢寶琮.中國數學史.北京：科學出版社，1964
(本文為作者據2002年北京國際數學家大會上的公衆報告整理)
