一道國中幾何題-求直角邊上的兩條線段的比

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAD=2∠DAB，且AC/AD=2/3, 求CD/DB 的值。

解法1：國中解法，如圖做角CAB的平分線，交于CD于點P。

由于是計算比值，可以直接把AC看成AC=2， AD=3，這樣不影響結果。

在直角三角形ACD中，根據勾股定理可以直接求得：

CD=√5

根據三角形角平分線定理，可以得出：

CP/PD=AC/AD=2/3,

是以：

CP=2CD/5=(2√5)/5

PD=3CD/5=(3√5)/5

是以在直角三角形ACP中，斜邊AP可以求出：

設BD=x, 那麼根據勾股定理：

在三角形PAB中再次用角平分線定理：

将此化簡後有：

解這個方程：

CD/DB=5/9

解法2：高中解法，利用三角學的恒等變換。

如圖，設∠BAD=θ，則∠CAD=2θ，∠CAB=3θ，

在直角三角形ACD中，顯然有：

Cos2θ=AC/AD=2/3

其次通過解直角三角形用θ表示可以列出DC和BC的表達式，是以：

通過三角的恒等變換：

可以解出：

利用三角的恒等變換公式：

最後得出：