我們從一個沒那麼複雜的問題開始。如果有一組正整數，你能從中挑出幾個數字，使它們的倒數之和恰好等于1嗎？
比如，這裡有 10個數字組成的一個數集，我們可以選擇其中的2、3、12、18、36，就能得到
事實上，這類問題很有可能正是最古老的數學問題之一，它們可以追溯到公元前1650年左右的古埃及數學典籍《萊因德數學紙草書》，其中記錄了古埃及人如何将有理數表示為機關分數之和。
《萊因德數學紙草書》。| 圖檔來源：Wikimedia Commons
機關分數就是分子是1的分數，或者也可以說是正整數的倒數，它們是當時古埃及數字系統中唯一一類分數，他們需要用機關分數來表示其他更複雜的分數，比如将3/4寫作1/2和1/4的和。
有趣的是，到了20世紀70年代，有關這類分數的問題再次引起了一些數學家的興趣。當時，數學家埃爾德什（Paul Erd s）和格雷厄姆（Ronald Graham）在探索想要設計出不滿足條件的整數集有多難，也就是說，一個整數集中不能有任何子集，其倒數之和等于1。
如果用數學術語更确切地描述，埃爾德什和格雷厄姆提出猜想，
埃爾德什-格雷厄姆問題。
我們稍後可以更詳細地來看看這個埃爾德什-格雷厄姆問題中的各種數學細節。但先說一則好消息，在這個猜想提出約半個世紀後，牛津大學數學家Thomas Bloom證明了它。
埃爾德什-格雷厄姆問題
埃爾德什和格雷厄姆提出的猜想中有一些基本的條件。首先，數集A是自然數集的子集，同時，它還涉及一個相對複雜的數學概念，也就是正密度。可以這樣簡單了解，無論你怎麼數下去，都存在一種非零的機率，會遇到集合A中的一個數字，那麼A就具有正密度。
在滿足條件的這樣一個數集A中，一定存在子集S，其中所有數的倒數之和等于1。
舉個簡單的例子，A是一個包含所有大于1的奇數的集合，它屬于自然數集的子集，并滿足正密度的條件，因為無論你數到10億還是100億，也一定會遇到奇數。然後，我們可以在A中找到有限子集S = ，而所有這些數的倒數相加恰好等于1。
這了解起來并沒有那麼困難，但證明它顯然就變成另一回事了。那就變成了一個大得多、複雜得多的問題。對不少數學家來說，似乎找不到什麼顯而易見的數學工具來解決它。
在前人基礎上的創新
盡管這個問題已經提出了很久，但Bloom是在一個偶然的機會才知道它。去年9月，在一次作業中，Bloom被要求在牛津的一個讀書會中介紹讨論一篇20年前的論文。這篇研究來自數學家Ernie Croot，他解決了所謂的埃爾德什-格雷厄姆問題的着色版本。
這是一種更弱的證明。可以這麼了解，在着色版本中，整數被随機地分類，指定放到不同顔色的桶中。猜想預測，無論這種分類中用到了多少個桶，至少會有一個桶包含一個倒數之和等于1的整數子集。
在着色版本中，整數會被随機分到不同“桶”裡。
Croot這篇發表于2003年的論文引入了來自調和分析的強大的新方法，那是一個與微積分密切相關的數學分支。他的論文也受到了廣泛贊譽。
着色版本和密度版本非常相似，但它們在一個非常重要的方面卻有所不同。在着色問題中，整個數集A被分成了不同的“桶”，具體的分割方法并不重要。數學家要證明的是，有一個“桶”裡的數字滿足條件。這正是Croot在論文裡建構的證明，表明了至少會有一個“桶”裡包含足夠多具有低素因子的數字，用數學術語來說就是光滑數（smooth number），進而滿足定理。
這可以看作證明的一條捷徑，但在密度版本中，這樣的捷徑并不存在。當Bloom看到這篇證明後，卻認為這種方法要比人們普遍認為的更強，那實際上證明了密度問題的一個特例。Bloom謙虛地表示，他所做的“隻是又推了一下那扇已經打開的門”。
粗略來說，先前的證明依賴于一類被稱為指數和的整數。指數和可以分成兩個部分，分别是優弧貢獻，也就是我們可以明确計算并且很大的部分，以及劣弧貢獻，也就是我們不知道如何計算，但能證明很小的部分。
先前證明的巧妙之處在于，Croot想到了一種思考劣弧貢獻的新方法，把它變成了一類不同的問題。他沒有試圖計算數值，而是研究了這個集合中倍數是如何沿着數軸分布的。
在此基礎上，Bloom将它進一步改進成适用于密度版本，進行了更多“局部”處理。在Bloom的新論文中，他将自己的方法解釋為“Croot引入的方法的一種更強形式”。
同時，Bloom沒有直接尋找倒數之和為1的答案，而是先找到了倒數相加更小的數集，然後再把它們當作“零件”，最終建構出想要的答案。這進一步幫助簡化了過程。
将古老的問題帶入現代
Bloom的新證明受到了許多數學家的贊賞，但這顯然不是數集與和的問題探索的終點。
數論一直在尋找數字中的隐藏結構。當數論學家遇到一種似乎無可避免的數字模式時，他們會不斷測試這種模式的穩定程度，探索它的邊界和極限，進而挖掘出埋藏在數字中的新資訊。
在過去20年間，組合與分析數論都有了很大發展，讓數學家能夠以全新的視角看待許多古老的問題。同時，在計算機的幫助下，以更嚴格的方式檢驗證明也成為可能。
#創作團隊：
撰文：Takeko
設計/排版：雯雯
#參考來源：
https://www.iflscience.com/editors-blog/math-problem-3500-years-in-the-making-finally-gets-a-solution/
https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/
https://arxiv.org/pdf/2112.03726.pdf
#圖檔來源：
封面圖：Takeko
首圖：Zapotz / Wikimedia Commons