1月28日12時，《張朝陽的實體課》第二十三期開播。搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，繼續讨論氫原子問題。他先回顧三個有關氫原子的重要算符，複習上次波函數角向部分的結果，補充了量子疊加概念，進而開始對薛定谔方程具體地求解波函數的徑向部分。
張朝陽通過分析r趨于0與r趨于無窮的情況，猜測徑向波函數解的大緻形式，将氫原子徑向薛定谔方程變形并化簡。将解表示為級數展開形式，推導出其各項系數的遞推關系，并求解出氫原子量子化的能級和徑向波函數。通過分析電子的機率分布，尋找r方向上的極大值，得到氫原子半徑。
分析r趨于0與無窮的漸進行為 化簡與變形氫原子徑向薛定谔方程
“我們跟氫原子較勁很長時間了。” 張朝陽在直播間開場說到，“宇宙中第一個元素就是氫。知道了氫，便知道了天下，包括了解我們自己，每個人身上有多少碳水化合物？”
在開始講解氫原子徑向波函數之前，張朝陽複習了上次角向波函數的結果，并補充說明利用量子疊加的概念，可得出沿不同方向旋轉的角向波函數，完結了關于氫原子角向的所有讨論。這節課是求解氫原子的最後一步，張朝陽要帶着網友求解氫原子徑向薛定谔方程。
這個方程是類氫離子方程，比之前幾節課的方程多出了Z，代表的是原子核所帶電荷數是Z，氫原子Z=1代表氫原子核帶1個機關正電荷。引入Z是為了友善下節課讨論多電子原子。為了友善，之後仍然稱此類氫離子方程為氫原子方程。
“為了讓它看起來簡潔。”他先介紹求解方法，“我們定義如下兩個新參數，化簡這個方程。”
并定義新的函數u：
這樣，徑向薛定谔方程可以化簡為：
“但是，這個新形式的方程還是不好解，若我們還是強行用級數展開求解，遞推關系會很複雜。”他指出問題所在。“為了進一步化簡，我們先分析它在r趨于無窮與r趨于0 的漸進行為。”他邊推導邊分析，當r趨于無窮時，方程會變得非常簡單，可以解得函數u在r趨于無窮的時候有如下漸進行為。他也提到，另外一個解由于不滿足波函數的束縛态條件而舍棄掉了。
他繼續推導，當r趨于0時，方程也變得比較簡單。同樣也可以解得u函數在r趨于0的時候則有如下漸進行為。而另外一個解對應的波函數在r=0處過于發散，導緻粒子在此處任意小體積元内出現的機率為無窮大，因而也舍去。
最後，将這兩者的漸進行為專門提取出來，定義新的函數R：
并且将此關系式，代入u所滿足的方程，可以得到R所滿足的方程：
是以，隻需要解出R，就能解出氫原子的徑向薛定谔方程了。
級數解法與遞推關系 解出能級與徑向波函數
為了解出R，類比上一節解勒讓德方程的方法，張朝陽将R寫成級數展開的形式：
并将其代入到R所滿足的方程之中，得到其系數所滿足的遞推關系：
他介紹說，若這個級數有無窮多項，那麼k可以取到無窮大，而當k很大的時候可以發現，R的展開系數的遞推關系就與e指數的泰勒展開系數的遞推關系一樣，即函數R（r）在r趨于無窮的時候按照e指數發散，代回最初的波函數的表達式中，會發現波函數不符合束縛态的條件。
是以，為了得到束縛态，或者說為了讓徑向波函數在無窮遠處趨于0，必須得要求此級數不能是無窮多項，即必須有個截斷，對應的條件就是在某一個k的時候上式遞推關系的分子為零。
“這樣大于k的展開系數全部為0。”他給出答案“根據α與E的關系，就可以将能量的表達式具體寫出來。”
（由遞推關系導出氫原子分立能級）
通過推導能清晰看出，氫原子的能級是分立的，而不像經典力學那樣是連續的。
張朝陽再進一步利用u與R的關系以及徑向波函數與u的關系，得到徑向波函數的表達式：
他介紹，若将這個徑向波函數歸一化，并結合上節課解得的角向波函數，就能得出氫原子整體波函數的表達式：
“其中n稱為主量子數，用來标記能級。l稱為角量子數，用來标記角動量。m稱為磁量子數，用來标記角動量的z分量。”他解釋。
（最終解得的氫原子波函數）
解得氫原子徑向波函數後，張朝陽具體帶網友看了看氫原子的基态，這時Z取為1，n取1，l與m都取0。根據量子态的機率诠釋，可以利用徑向波函數計算出電子出現在不同半徑球殼的機率。
可以發現，當球殼半徑剛好為波爾半徑的時候，電子出現的機率最大，即氫原子半徑正是波爾半徑，這說明氫原子薛定谔方程解出的氫原子半徑正好與粗糙的舊量子力學得出的氫原子半徑驚人地一緻。
（推導氫原子半徑）
推導過程中，因為需要用到很多數學知識，張朝陽一度開玩笑說，“今天是堂數學課，你們跟我學數學了。”他也解釋說，“我們這個課，你說大學水準也好，中學水準也好，我們是為了解決問題，逢山開道，遇水架橋。需要用到什麼就學什麼。”
搜狐視訊發力知識直播 傳播知識玩轉科學
自11月5日至今，《張朝陽的實體課》已直播二十餘期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數；第三、四課和“振動”相關，科普可見光的基本知識；第五、六課引發了關于音速和溫度的大讨論；在第七、八、九課重溫經典實體學的兩朵烏雲。
第十、十一課重點回顧黑體輻射曲線及其應用；第十二、十三、十四課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推導出著名的公式“E=mc ”，并論證鐘慢尺縮效應；第十五課講解了原子的結構和原子核的衰變；第十六課開始進入量子力學，讨論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不确定性原理，以及薛定谔方程等。
從二十餘期的實體課可以看出，《張朝陽的實體課》的直播風格獨樹一幟——通過觀察日常生活現象、用網友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導的方式解釋其背後的實體原理，“透過現象看本質”，進而反過來解決生活中的類似問題。
張朝陽認為研究自然界是特别有意思的事情，他希望實體課的閱聽人能保有好奇心，“在好奇心驅使下，了解自然界的奧秘，了解我們在這個世界生存的道理”。在後續課程中，他還将繼續以這種直播風格解釋生活中常見的實體現象，讓普通人能夠聽懂、專業人士也能認可，激發科學學習的熱潮。該課程于每周周五、周日12時在搜狐視訊直播。同時，網友可以在搜狐視訊“關注流”中搜尋“張朝陽”，觀看往期完整視訊回放。
除《張朝陽的實體課》外，搜狐視訊也邀請多位通識教育播主，直播科普知識，傳遞價值。北京交通大學理學院教師陳征博士玩起了“奇趣的科學實驗”，走進“光的波粒二象性”；康奈爾大學實體化學博士包坤，化身“包大人玩科學”，教普通人看懂2021年諾貝爾獎；還有天體實體博士劉博洋科普“日全食是怎麼産生的”等，近期走紅的理論實體博士後周思益，也來搜狐視訊開通“弦論世界”直播課。未來，還将有更多知識播主入駐，一起互動玩轉科學。