恩格斯在《反杜林論》中說：“變數的數學——其中最重要的部分是微積分。”馮·諾依曼說：“微積分是近代數學中最偉大的成就，對它的重要性做怎樣的估計都不會過分。” 可見微積分在數學中的重要性。通常說的“微積分”由方法和原理兩部分構成，而原理部分是微積分的核心。然而人們很少有意識去區分微積分方法和微積分原理，但兩者畢竟不是一回事。從微積分的教學角度來看，高數側重于對方法的學習，而數分更側重于對原理的學習。方法是為實踐服務的，并通過實踐來檢驗它的效果；原理是搞懂“是什麼”和“為什麼”，是為揭示方法背後的機理服務的。本文的寫作目的是希望幫助讀者能夠更好地認識微積分方法和微積分原理，進而對微積分自身有一個更加深刻的認識。
牛頓和萊布尼茨幾乎在同一時期，獨立地創立了微積分。這是一項影響深遠的偉大發明。遺憾的是，牛頓一生也沒有形成一個相對成熟的微積分體系，他的求導數方法（即流數法或首末比法）飽受诟病，關鍵在于對“ο”的了解上。而萊布尼茨的微積分理論雖然簡潔，但他的微分定義說不清楚。不清楚的原因就在于他認為微分是相鄰兩點之差。實際上，相鄰兩點，即使是放在現行的實數系中也是不存在的。是以雖然說兩人都建立了微積分，但是它并沒有形成一個完備的原理體系。
圖1 牛頓（左）、萊布尼茨（右）畫像
微積分的曆史告訴我們，盡管在當時并沒有建立起完備的微積分原理，但是它已與廣泛的應用緊密交織在一起，刺激和推動着許多數學新分支的建立。
18世紀，可以說是分析的時代。自從微積分建立之後，整個數學的主流進入了微積分的大發展，而它主要表現在微積分方法的大發展。特别是歐洲大陸這邊的數學家，如伯努利兄弟、歐拉、達朗貝爾、拉格朗日等人做了大量的貢獻。與此同時，由于牛頓和萊布尼茨的微積分不嚴格，也有一部分數學家做了種種嘗試來克服微積分基礎的困難，盡管這在當時還不是主流。經過近一個世紀的嘗試和醞釀，數學家們在嚴格化基礎上重建微積分的努力在19世紀初開始獲得成效，後經柯西、魏爾斯特拉斯、黎曼、康托、勒貝爾等人才最終建立起嚴格的微積分原理。
柯西從牛頓“消失量的最終比不是最終量之比，而是這些無限減少的量的比的極限”中受到啟發，提出了使用極限思想建立微積分體系；魏爾斯特拉斯給出了極限論嚴格的形式化描述，即現行的ε-δ語言；而後，曆經黎曼的積分思想，康托的集合論，勒貝格的積分思想（基礎是測度論），最終形成現行的微積分體系，也被稱作第二代微積分體系。究其本質而言，是用極限思想發展了牛頓的微積分原理，并引進了萊布尼茨的記号進而形成的一套體系。需要注意的是，此時微積分體系的核心已經從微分變為導數了。
我們今天談微積分，大家沒有很明确地區分微積分方法和微積分原理。那麼什麼是微積分方法和微積分原理？我們為什麼又要加以區分呢？
微積分方法是人們以微積分為工具解決問題的手段和途徑。比如在牛頓、萊布尼茨建立微積分之前就積累了大量的問題，主要歸結為兩類問題：以求曲線切線、求瞬時變化率、求函數極值等為主的微分問題和以求面積、體積等為主的積分問題。當然在牛萊之後又産生了很多新問題，那麼我們就需要以微積分為工具解決這些問題。
18世紀主要是微積分方法的發展。微積分基本方法包括微分方法、導數方法和積分方法。積分方法具體又包括換元積分法和分部積分法。人們通過對無理函數積分的研究，發現有一些函數的積分不能用已知的初等函數表示，最終在19世紀20年代建立了深刻的橢圓函數理論。當我們拿着微積分基本方法去應用的時候，還可以産生一些新東西。
常微分方程、偏微分方程、微分幾何、泛函分析等學科是伴随着微積分的發展而産生的。有了微分方程，經過歐拉、達朗貝爾、拉格朗日等數學家的努力，也就出現求解微分方程的方法。當微積分用于研究曲線曲面的時候，後面也出現了解決相應幾何問題的微分幾何方法。函數的概念可以推廣到泛函，于是出現變分法。以常微分方程為例，人們逐漸發現了分離變量法、變量代換法、參數變易法、積分因子法等方法。到1740年左右，幾乎所有求解一階方程的初等方法都已知道。高階常微分方程求解的重要突破，是歐拉1743年關于n階常系數線性齊次方程的完整解法，當時歐拉引進了著名的指數變換。18世紀常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774-1775年間用參數變易法解出了一般n階變系數非齊次常微分方程。
圖2
那什麼是微積分原理呢？在此之前，我們先搞明白什麼是原理。
以力學為例，在“力”這個概念沒有揭示之前，和“力”相關的現象也在被研究着。比如說我們造小推車，我們搞的是個圓形的輪子，而不是平的什麼東西往前推，這說明什麼？這說明人們在沒有“力”這個概念之前，就憑借經驗這麼幹，因為它推起來更省力。但是為什麼這樣做會更省力？有了“力”這個概念之後，我們知道通過摩擦力可以去解釋這個問題。因為我們可以比較這兩者之間的摩擦力，它有滑動摩擦力和滾動摩擦力的差別，而滾動摩擦力阻力更小，那麼搞個圓形的輪子它就會更省力。
圖3
這樣我們就把它的原理給揭示出來了。一旦原理被揭示了，我們還可以用原理去設計更好地減弱滾動摩擦力的東西。以汽車駕駛為例，它的滾動摩擦力是作為阻力，我們可以想辦法改變輪胎的材質和形狀來盡可能減少滾動摩擦力。但滑動摩擦力也有一部分作用，滑動摩擦力要使它發生相對的位移。滑動摩擦力在有些情況下是越大越好，比如下雪天，因為滑動摩擦力不夠大的話，輪胎就會出現打滑。為什麼要在輪胎上刻上花紋，花紋的設計就是為了增大滑動摩擦力。
原理的重要性在于，我們可以用原理去優化原先的設計。那麼對于微積分也是一樣。微積分方法行之有效，我們需要把它最核心的概念給提煉出來，在這些概念之上形成一個數學的演繹體系。這個體系，它要能夠去解釋已有的這些方法為什麼是正确的，把它的本質揭示清楚。不僅如此，還要能去優化已有方法的一些數學表述，乃至是發展更多的微積分方法。原理就是要起到這樣一個作用。當然，我們還要要求這個原理能夠做到邏輯自洽，并且盡可能簡潔。
這才是我們談的微積分原理，它具體的表現是一個數學的演繹體系。在以極限概念為核心的現行微積分原理體系下，它主要表現在極限、實數、集合、函數、連續、導數、定積分、不定積分、微分等基本概念以及由這些基本概念構成的演繹體系。
我們說微積分方法是放之四海而皆準的，因為它的正确性已經通過實踐來證明了。但是它為什麼正确不能隻停留在實踐的檢驗上，人們也需要從原理角度去揭示它背後的機理，甚至去優化它或者去發現更多的微積分方法。這是微積分原理與微積分方法根本不同的地方。事實上我們常常混淆這兩個概念。微積分方法的正确性不用靠微積分原理去做證明，因為實踐已經證明了，而隻是需要微積分原理能夠更好地去解釋它。同樣的，我們也不能說因為微積分方法是正确的，是以微積分原理就沒有問題。如果是這樣，我們就不需要以極限概念為核心的現行微積分原理了，因為牛頓和萊布尼茨的不完備的微積分原理就足夠了。人們對客觀事物的認識，是一個由生動直覺到抽象思維，由感性認識到理性認識的不斷深化的過程。微積分原理的有效性完全要靠它的邏輯自洽性和簡潔實用性來證明。原理的産生不是一蹴而就的，但它也不是死的。當一個原理不能起到應有的作用時，它就還有進一步發展的空間。
本文經授權轉載自微信公衆号“數學經緯網”，原标題為《高視角！如何認識微積分方法與原理？》。
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