已知空間兩點組成的直線求線上某點的Z值

計算幾何：已知空間兩點組成的直線求線上某點的Z值

已知空間兩點組成的直線求線上某點的Z值，為什麼會有這種看起來比較奇怪的求值需求呢？因為真正三維空間的幾何計算是比較麻煩的，很多時候需要投影到二維，再反推到三維空間上去。

複習下空間直線方程:已知空間上一點\(M0(x0,y0,z0)\)和方向向量\(S(m,n,p)\)，則直線方程的點向式為：

\[\frac{X-x0}{m}=\frac{Y-y0}{n}=\frac{Z-z0}{p}

\]

根據該公式可以解決該計算幾何問題，具體實作代碼如下：

#include<iostream>

using namespace std;

//三維double矢量
struct Vec3d
{
	double x, y, z;

	Vec3d()
	{
		x = 0.0;
		y = 0.0;
		z = 0.0;
	}
	Vec3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
	void Set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
};

bool CalLinePointZ(const Vec3d & v1, const Vec3d & v2, Vec3d & vp)
{
	const double eps = 0.0000001;

	//方向向量
	Vec3d s(v2.x-v1.x, v2.y - v1.y, v2.z - v1.z);

	//此時無法求值
	if (abs(s.x) == eps && abs(s.y) == eps)
	{
		return false;
	}

	double t = 0;
	if (abs(s.x) > eps && abs(s.y) == eps)
	{
		double t = (vp.x - v1.x) / s.x;
	}
	else if (abs(s.x) == eps && abs(s.y) > eps)
	{
		double t = (vp.y - v1.y) / s.y;
	}
	else
	{
		double tx = (vp.x - v1.x) / s.x;
		double ty = (vp.y - v1.y) / s.y;

		//說明點不可能在直線上
		if (abs(tx - ty) > eps)
		{
			return false;
		}
		t = tx;
	}

	vp.z = t * s.z + v1.z;
	return true;
}

int main()
{
	Vec3d v1(0.0, 0.0, 3.7);
	Vec3d v2(5.0, 5.0, 4.5);

	Vec3d vp;
	vp.x = 4.6;
	vp.y = 4.6;
	vp.z = 0.0;

	if (CalLinePointZ(v1, v2, vp))
	{
		cout << "該點的高程：" << vp.z << endl;
	}

	return 0;
}
           

注意根據方向向量的值做特殊情況判斷，當直線的方向向量\(S(m,n,p)\)的\(m=n=0\)時,是無法正确求值的。