POJ 計算幾何入門題目推薦

  其實也談不上推薦，隻是自己做過的題目而已，甚至有的題目尚未AC，讓在掙紮中。之是以推薦計算幾何題，是因為，本人感覺ACM各種算法中計算幾何算是比較實際的算法，在很多領域有着重要的用途（例如本人的專業，GIS）。以後若有機會，我會補充、完善這個清單。

計算幾何題的特點與做題要領：

1.大部分不會很難，少部分題目思路很巧妙

2.做計算幾何題目，模闆很重要，模闆必須高度可靠。

3.要注意代碼的組織，因為計算幾何的題目很容易上兩百行代碼，裡面大部分是模闆。如果代碼一片混亂，那麼會嚴重影響做題正确率。

4.注意精度控制。

5.能用整數的地方盡量用整數，要想到擴大資料的方法（擴大一倍，或擴大sqrt2）。因為整數不用考慮浮點誤差，而且運算比浮點快。

一。點，線，面，形基本關系，點積叉積的了解

POJ 2318 TOYS（推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2318

POJ 2398 Toy Storage（推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2398

一個矩形，有被若幹直線分成N個格子，給出一個點的坐标，問你該點位于哪個點中。

知識點：其實就是點在凸四邊形内的判斷，若利用叉積的性質，可以二分求解。

POJ 3304 Segments

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3304

知識點：線段與直線相交，注意枚舉時重合點的處理

POJ 1269 Intersecting Lines 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1269

知識點：直線相交判斷，求相交交點

POJ 1556 The Doors （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1556

知識點：簡單圖論＋簡單計算幾何，先求線段相交，然後再用Dij求最短路。

POJ 2653 Pick-up sticks 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2653

知識點：還是線段相交判斷

POJ 1066 Treasure Hunt 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1066

知識點：線段相交判斷，不過必須先了解“走最少的門”是怎麼一回事。

POJ 1410 Intersection 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1410

知識點：線段與矩形相交。正确了解題意中相交的定義。

詳見：http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/68c682c67e8d1f1d9d163df0.html

POJ 1696 Space Ant （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1696

德黑蘭賽區的好題目。需要了解點積叉積的性質

POJ 3347 Kadj Squares 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3347

本人的方法極度猥瑣。複雜的線段相交問題。這個題目是計算幾何的擴大資料運算的典型應用，擴大根号2倍之後就避免了小數。

POJ 2826 An Easy Problem?! （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2826

問：兩條直線組成一個圖形，能容納多少雨水。很不簡單的Easy Problem，要考慮所有情況。你不看discuss看看能否AC。（本人基本不能）提示一下，水是從天空垂直落下的。

POJ 1039 Pipe 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1039

又是線段與直線相交的判斷，再加上枚舉的思想即可。

POJ 3449 Geometric Shapes 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3449

判斷幾何體是否相交，不過輸入輸出很惡心。

此外，還有一個知識點，就是給出一個正方形（邊不與軸平行）的兩個對角線上的頂點，需要你求出另外兩個點。必須掌握其方法。

POJ 1584 A Round Peg in a Ground Hole 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1584

知識點：點到直線距離，圓與多邊形相交，多邊形是否為凸

POJ 2074 Line of Sight （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2074

與視線問題的解法，關鍵是求過兩點的直線方程，以及直線與線段的交點。資料有一個trick，要小心。

二。凸包問題

POJ 1113 Wall 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1113

知識點：赤裸裸的凸包問題，凸包周長加上圓周。

POJ 2007 Scrambled Polygon 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2007

知識點：凸包，按極角序輸出方案

POJ 1873 The Fortified Forest （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1873

World Final的水題，先求凸包，然後再搜尋。由于規模不大，可以使用位運算枚舉。

詳見：http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/333abd54c7f22c52574e0067.html

POJ 1228 Grandpa's Estate （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1228

求凸包頂點數目，很多人求凸包的模闆是會多出點的，雖然求面積時能得到正确答案，但是在這個題目就會出問題。此外，還要正确了解凸包的性質。

POJ 3348 Cows 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3348

凸包面積計算

三。面積問題，公式問題

POJ 1654 Area 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1654

知識點：利用有向面積（叉積）計算多邊形面積

POJ 1265 Area 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1265

POJ 2954 Triangle 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2954

Pick公式的應用，多邊形與整點的關系。（存在一個GCD的關系）

四。半平面交

半平面交的主要應用是判斷多邊形是否存在核，還可以解決一些與線性方程組可行區域相關的問題（就是高中時的那些）。

POJ 3335 Rotating Scoreboard

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3335

POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are! 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3130

POJ 1474 Video Surveillance

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1474

知識點：半平面交求多邊形的核，存在性判斷

POJ 1279 Art Gallery 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1279

半平面交求多邊形的核，求核的面積

POJ 3525 Most Distant Point from the Sea （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3525

給出一個多邊形，求裡面的一個點，其距離離多邊形的邊界最遠，也就是多邊形中最大半徑圓。

可以使用半平面交+二分法解。二分這個距離，邊向内逼近，直到達到精度。

POJ 3384 Feng Shui （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3384

半平面交實際應用，用兩個圓覆寫一個多邊形，問最多能覆寫多邊形的面積。

解法：用半平面交将多邊形的每條邊一起向“内”推進R，得到新的多邊形，然後求多邊形的最遠兩點。

POJ 1755 Triathlon （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1755

半平面交判斷不等式是否有解。注意不等式在轉化時正負号的選擇，這直接影響到半平面交的方向。

POJ 2540 Hotter Colder 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2540

半平面交求線性規劃可行區域的面積。

POJ 2451 Uyuw's Concert

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2451

Zzy專為他那篇nlogn算法解決半平面交問題的論文而出的題目。

五。計算幾何背景，實際上解題的關鍵是其他問題（資料結構、組合數學，或者是枚舉思想）

若幹道經典的離散化＋掃描線的題目，ACM選手必做題目

POJ 1151 Atlantis （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1151

POJ 1389 Area of Simple Polygons

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1389

矩形離散化，線段樹處理，矩形面積求交

POJ 1177 Picture （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1177

矩形離散化，線段樹處理，矩形交的周長，這個題目的資料比較強。線段樹必須高效。 

POJ 3565 Ants （推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3565

計算幾何中的調整思想，有點像排序。要用到線段相交的判斷。

詳見：http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/fb668cf0f362bec47931aae2.html

POJ 3695 Rectangles    

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3695

又是矩形交的面積，但是由于是多次查詢，而且矩形不多，使用組合數學中的容斥原了解決之最适合。線段樹是通法，但是除了線段樹，還有其他可行的方法。

POJ 2002 Squares    

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2002

枚舉思想，求平面上若幹個點最多能組成多少個正方形，點的Hash

POJ 1434 Fill the Cisterns!（推薦）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1434

一開始發昏了，準備弄個線段樹。其實隻是個簡單的二分。

六。随機算法

POJ 2420 A Star not a Tree? 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2420

多邊形的費馬點。所謂費馬點，就是多邊形中一個點P，該點到其他點的距離之和最短。四邊形以上的多邊形沒有公式求費馬點，是以可以使用随機化變步長貪心法。

詳見：http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/75983f138499f825dd54019b.html

七。解析幾何

這種題目本人不擅長，是以做得不多，模闆很重要。當然，熟練運用叉積、點積的性質還是很有用的。

POJ 1375 Intervals 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1375

知識點：過圓外一點求與圓的切線

POJ 1329 Circle Through Three Points    

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1329

求三角形外接圓

POJ 2354 Titanic

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2354

求球面上兩個點的距離，而且給的是地理經緯坐标。

POJ 1106 Transmitters

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1106

角度排序，知道斜率求角度，使用atan函數。

POJ 1673 EXOCENTER OF A TRIANGLE

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1673

可以轉化為三角形的垂心問題。

八。旋轉卡殼

POJ 2187 Beauty Contest 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2187

凸包求最遠點對。可以暴力枚舉，也可以使用旋轉卡殼。

POJ 3608 Bridge Across Islands（難）

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3608

兩個凸包的最近距離。本人的卡殼始終WA。郁悶。

九。其他問題

POJ 1981 Circle and Points 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1981

求機關圓最多能覆寫平面上多少個點 

一。基礎題目

1.1 有固定算法的題目

A， 最近點對問題

最近點對問題的算法基于掃描線算法。

ZOJ    2107    Quoit Design    典型最近點對問題

POJ    3714    Raid    變種最近點對問題

B，最小包圍圓

最小包圍圓的算法是一種增量算法，期望是O(n)。

ZOJ    1450    Minimal Circle   

HDU    3007    Buried memory   

C，旋轉卡殼

POJ 3608    Bridge Across Islands    旋轉卡殼解兩凸包最小距離

POJ 2079    Triangle        旋轉卡殼計算平面點集最大三角形

1.2 比較簡單的題目

HDU    3264    Open-air shopping malls ，圓面積相交問題，如果用二分法做的話不難

CII 3000 Tree-Lined Streets，幾何+貪心    

CII 4676 Geometry Problem，模闆題    

HDU 3272 Mission Impossible，枚舉+鏡面反射思想

POJ 3334    Connected Gheeves，二分答案，面積判定

POJ 1819    Disks，模拟一下    

CII 3905 Meteor，貌似還是比較簡單

ZOJ 2589 Circles，平面圖的歐拉定理，圓的相交

POJ 2194 Stacking Cylinders，向量旋轉

二。經典算法

2.1 三角剖分

三角剖分這個東西貌似去年流行了一下，高校聯賽時某U連續出了兩次。實際上對多邊形進行三角剖分是一個很常見的算法思想，因為三角形是一個比較簡單的凸多邊形，可以對兩個三角形比較容易地求公共面積，這也是三角剖分最常見的用途。對這個算法進行擴充，就可以求兩個簡單多邊形的面積交了。主要是了解有向面積的概念。

第一類是圓與三角形的相交，主要做法是分情況讨論。

POJ    3675    Telescope    三角形剖分，圓與三角形的交

POJ    2986    A Triangle and a Circle    三角形剖分，圓與三角形的交

ZOJ   2675    Little Mammoth    三角形剖分，圓與三角形的交

第二類是多邊形與多邊形相交。

HDU    3060    Area2    簡單多邊形面積并，三角剖分

三角形剖分的另一種變種是梯形剖分，應用起來稍有局限性，但是比三角形剖分好寫。

POJ    3148    ASCII Art    多邊形梯形剖分，半平面交

多邊形的重心問題，也是三角形剖分的應用：

CII      4426    Blast the Enemy!

2.2 極角排序

顧名思義，極角排序一般就是有一個圓心的問題，将平面上各個點按照與圓心極角進行排序。然後就可以線上性掃描之中解決一些統計問題。不過這類問題就稍稍超出計算幾何範疇了。

UVA    11696 Beacons    頗為經典的極角排序的統計問題，記得darkgt大牛有一篇文章提到這個題目。

CII 4064 Magnetic Train Tracks，極角排序的統計問題，補集思想。

UVA    11704 Caper pizza

POJ 2280    Amphiphilic Carbon Molecules，極角排序相當巧妙地解決了這個問題。

2.3 掃描線算法

掃描線算法，需要使用到平衡樹輔助，寫起來比較複雜（對于本菜而言）。關于平衡樹，我建議是直接使用STL的set或map。是以你需要掌握一些C++的知識，才能夠看懂一份使用了map與set的代碼。當年學習OI牛的代碼我看得很糾結。不過隻要了解了“事件點”這一個概念後就比較好辦了。

HDU    3124    Moonmist        二分+掃描線。最近圓對，不存在改編最近點對的方法。不過當時資料弱，很多人亂搞過了

POJ    2927    Coneology        平衡樹+掃描線，與上題類似。

下面兩個題目都是關于多邊形的掃描線算法，關于平面上許多凸多邊形套了多少層的問題。

CII    4125    Painter ，這個是Final題，比較簡單，是判斷三角形嵌套層數的。

UVA        11759    IBM Fencing，上題是三角形，這題是多邊形，稍稍難了一點。不過了解好掃描線算法的話應該沒有問題。

2.4 其他題目

POJ    3528 Ultimate Weapon，模闆化的三維凸包。知道幾個三維有向體積的概念即可比較容易了解三維凸包的算法。三維凸包算法又是一種增量算法。

三。不确定算法/極值問題

POJ 3301    Texas Trip    ，算是一種模拟退火求極值的問題，通過平面旋轉找到最佳答案。

SPOJ 4409 Circle vs Triangle(AREA1)，也是模拟退火

UVA 11562 Hard Evidence，應用三分極值法求極值。

四。傳統幾何、公式題

UVA有一個名叫Shahriar Manzoor喜歡出這些題目，喜歡這類題目的同志可以研究一本名叫《近代歐式幾何學》的書。不過這些題目一般中學幾何知識能夠解決。

CII 4413    Triangle Hazard，梅涅勞斯定理，想不到SCNU校賽出到了

UVA     11524    InCricle，三角形内切圓性質聯立海倫公式

CII 4714    In-circles Again，還是公式推導

POJ    2208 Pyramids，歐拉四面體公式

五。幾何結合其他算法，麻煩題

HDU    2297 Run，百度杯的題目，利用到了zzy的半平面交的極角排序思想。

CII 4448 Conduit Packing，問一個大圓能否放下四個小圓。頗為變态的Final題，算法都很基礎，就是二分一個答案，枚舉兩個已知圓，求與已知的兩圓公切的第三個圓，枚舉放置的位置……關鍵是不好想。

CII 4510 Slalom 幾何+最短路

UVA    11422 Escaping from Fractal Bacterium    ，麻煩題，主要還是向量旋轉。

HDU    3228 Island Explorer，利用了最小生成樹的性質。

CII 4499 Camera in the Museum，有關圓形處理的，很不錯的題目。

CII 2395 Jacquard Circuits，Pick公式的應用

POJ 3747 Scout YYF II，又是一個幾何問題，需要猜想一下。

POJ 3336 ACM Underground，幾何預處理，并查集

CII 4428 Solar Eclipse，也是不錯的題目，涉及圓的問題

CII 4206 Magic Rings，dancing links解重複覆寫問題，二分，百度杯也有個類似的題目。

POJ 1263    Reflections，與下面一個題目都是一類光線在球面上反射問題。解決方法是解析幾何，參數方程，向量旋轉等等。

CII 4161 Spherical Mirrors，上面題目的三維版本。

POJ 3521 Geometric Map，複雜的預處理，可以用于自虐

CII 3270 Simplified GSM Network    雖然有着V圖的模型，但是規模小，是以無須出動V圖算法，用半平面交即可。變态級的V圖算法可以咨詢三鮮教主。

CII 4617 Simple Polygon，平面上有一堆點，叫你用一筆畫把這些點連起來，連成一個閉合的簡單多邊形，線不允許出現相交。改造一下凸包算法即可。

當然，除了上述的題目外，還有許多比較精彩的計算幾何題目等待大家發掘。