这篇文章是"第三届数学文化论文比赛"。
莱布尼茨、二进制和巫毒教
作者：张小平 江辉 马红云
工作编号：001
提交时间： 2021.5.8
莱布尼茨是一位百科全书式的科学家，他生活在一个与清朝顺济三年（1646年）——康熙五十五年（1716年）重叠的时代。他非常关注中国的历史和文化，他在一篇关于二进制的论文中提到了巫毒八卦地图，在与他人的通信中，他多次提到二元和巫毒八卦地图。胡洋和李长轩两位学者认为，巫毒八卦地图是二元的，莱布尼茨创作的二元版受巫毒八卦地图的启发1。这些结论值得商榷。
一、《易书》在欧洲的发行
《易书》是一本中国古籍，由《周轶》和《易传》两部分组成，成一本西周时期的书，作者不详，是古奥运的文字。周轶是由八卦符号和八卦组成的，后来，儒家学者从正道的八卦中，写了《易传》，经过历代学者勾搭考核，形成了易学。
法国神父尼尔拉斯·特里拜伊特（Nielas TriBauit）于1610年和1620年两次来中国传教，他在杭州用拉丁语翻译了这本书，但翻译在欧洲没有影响。
意大利的马蒂诺·马提尼神父精通数学、天文学和测量技术，曾两次来到中国，为中西科学文化交流做出了重要贡献。1658年，他在慕尼黑出版了《中国古代史》，其中有对《易书》的讨论，其中有一幅六十四幅八卦图，标为傅伟的画作，被引入欧洲第一幅巫毒八卦图中。魏卫国介绍，八卦图中的基本符号是"阴"和"阳"，代表隐蔽、不完整的事物。阳痿代表着开放和完整的东西。由他们组成的"三线符号"是八卦，它代表了自然现象中的天空、大地、水、火、雷、山、泽、风。在此基础上，通过"三行符号"两个组合，可以形成六十四个"六行符号"，即六十四个八卦。
1660年，学者戈特利德·斯皮策尔（Gottlied Spitzel）的《中国文学史评论》（Review of Chinese Literature and History）在荷兰莱顿出版，一些材料提到了自卫的《中国古代史》，介绍了《易书》的内容，其中包含了傅福的六十四幅八卦图，以及"二元多重"一词，该短语指的是傅氏八卦图的生成方式，遵循乘数2的原则。斯派塞是莱布尼茨的学术朋友，两人有几封信讨论哲学。1660年后，莱布尼茨毫无疑问地读了《中国文学史评析》一书，大概就是在这个时候就知道了《易书》和傅魏八卦图。
比利时神父菲利普·夫特夫于1659年来到中国。他致力于传播中国文化，并与几位神父一起，将"大学"，"中"，"理论"和"易书"翻译成拉丁语，"西方四书"，其中包含了大量的八卦顺序图和巫毒八卦顺序图，以及阿拉伯语数字1中使用的周文王64八卦图， 2、3、4、5、6、7、8 和 64。这本书于1687年在巴黎出版，书名为《中国哲学家孔子》。1687年12月19日，莱布尼茨给一个名叫冯·黑森·莱茵费尔斯的人写了一封信，描述了他阅读中国哲学家孔子的喜悦。莱布尼茨还看到了这本书中长篇八卦的地图。
在容易学习的领域有一所叫大象学派的学校，主要通过巫毒八卦图来探索人们寻求避免谋杀的心理，祈求控制自然变迁的规律，其理论并不缺乏神秘主义。这位北宋哲学家在几个学派中大获成功，他采取了独特的方法，绕过了《易书》八卦的束缚，用深奥的术语和神秘的图解重新包装了《书》，创造性地绘制了"武-64八卦顺序图"和"福元-64八卦顺序图"，简称为顺序图和先天地图。顺序图和先天图与之前的体积图之间的最大区别在于它是按二进制顺序排列的。这些八卦图收录在南宋科学大师朱一本一书中。应该指出的是，直到1687年，莱布尼茨看到的所有类型的巫毒教图表都是用哲学术语排列的，而没有突出二进制的顺序特征。
其次，莱布尼茨真正理解巫毒教的过程
让莱布尼茨更多地了解巫毒教八卦地图的人是白金。曾为康熙当数学老师的法国牧师白进，被康熙命令回欧洲招收科学人才，1697年抵达巴黎，就易雪作了一次讲座，批评一些人把《易经》当作迷信之书来读，说其中含有傅伟的哲学， 中国君主制的创始人，像柏拉图和亚里士多德一样合理和完美。不久，白金读了莱布尼茨的《中国近代事务》一书，两人开始通过文字交流。从 1697 年 10 月 18 日开始，他们保留了多达 15 封通信2，其中许多讨论了二进制和巫毒教图。
1698年2月28日，白金第一次写信给莱布尼茨介绍《Vogue》："原来的汉字由虚线或实线组成，据说是傅福创作的。我想我们已经找到了学习它的真正秘诀。裴神父在《中国哲学家孔子》的序言中列出了这些汉字。"白进提到的汉字表，是《白书》中Vogue八卦图，不是余书画的先天图，与二进制无关。他认为这只是以简单自然的方式创造的汉字。
回到中国后，白金对《易书》有了更清晰的认识。1700年11月8日，白金从北京给莱布尼茨写了一封信，说傅琦是人类最早的密码制造者，傅琦是中国文化最原始的象征，有着完整的形而上学体系，既有算术又有语言功能，思想表达的语言可以用数学精度来分析。白进特别提到，在巫毒八卦图中，如果把虚线换成0，把实线换成1，六十四卦就是完美的数字。"《易书》中的神秘数字与毕达哥拉斯、柏拉图和埃及犹太哲学中的神秘数字有关，所有这些都来自造物主的神秘启示。白金精通大象数论，熟悉中国用计算来表示数字的方式，与阴阳重叠的形象非常相似，自然会把八卦图上的符号联想到数字。这时，虽然白金放了巫毒八卦图和联系的次数，但他不知道二进制算术，没有考虑二进制数。
莱布尼茨一直试图创造"通用字符"的概念，使用特殊符号来表示一般概念，以便思维过程像几何推理一样，使用逻辑计算来发现和发明真理。莱布尼茨考虑了巫毒图与"宇宙特征"的关系，因此他没有发现白金转换的数字是二进制的，并失去了发现巫毒图包含二进制的机会，将一项重大的科学发现推迟了一段时间。
莱布尼茨于1701年2月15日写信给白晋，介绍了"宇宙字符"的概念，并提到了他发明的微积分和二元系统。关于二进制，他向白进解释说："就像十进制使用从0到9的十个数字一样，只使用数字0和1就足够了。"该字母指的是二进制的算法，列出了从0到31的二进制表。莱布尼茨还建议白金将二元引入康熙。
莱布尼茨于1701年2月15日写给白金的信的文字记录
莱布尼茨将二进制引入白进，因为他刚刚成为法国皇家科学院院士，他打算向科学院提交一篇关于二进制的论文《数字科学的新科学》，顺便说一句，该院告诉了白金论文的内容。2月26日，莱布尼茨向科学院提交了他的论文。4月30日，科学院秘书长德丰特内尔写信给莱布尼茨，建议这篇论文不能在期刊上发表，因为它没有反映二进制的实际价值。
事实上，莱布尼茨一直在寻找二进制的实用价值。他有一个想法，用二进制原理制造计算器，但这并没有发生。他还试图将二元引入神学领域，使用二元算术来证明上帝的存在。莱布尼茨的手稿保存在德国图灵根戈伊塔宫的图书馆中，书名是："1和0，所有数字的神奇起源。这是一个神秘而奇妙的创造例子，因为一切都来自上帝。"
1696年5月，莱布尼茨拜访了汉诺威的奥古斯特公爵，并在谈论神学文化时向他介绍了二元算术。公爵认为，从神学的角度解释二进制的含义可以为上帝的创世记提供科学的解释。1697年元旦，莱布尼茨给公爵写了一封信，详细介绍了二元论中体现的"从头开始"的创造论思想。在他的信中，莱布尼茨设计了一个"创造地图"奖章，其中包含从0到16的二进制表以及加法和乘法的示例，并带有"Nothing Is Born"和"Create Everything"等字样。
1696年12月20日，莱布尼茨写信给清朝的上司郑明神父，详细介绍了二进制算术，列出了从0到31的二进制表，说明了加法和乘法的算法。我教康熙数学，莱布尼茨希望他能把二元法教给康熙，让康熙明白基督教文化的优越性。
莱布尼茨的"创造地图"奖章
在莱布尼茨写给拜金的信中，他也透露了强烈的神学情结。他写道，二进制的伟大之处在于它模拟了上帝的创造。起初世界上只有两种状态，上帝和虚无。上帝代表完美，没有什么代表不完美。世界上的一切都是上帝从虚无中创造的。此时，莱布尼茨仍然不知道二元论和巫毒教之间的关系，二元论的所谓神学应用也不适合写在科学论文中。
莱布尼茨二进制论文手稿
白金从莱布尼茨的信中学到了二进制的知识，立刻发现了二元图和先天图的关系，于1701年11月4日写信给莱布尼茨，并随之发送了一张先天性图，明确了只有实线应该换成1，虚线应该换成0，每个八卦对应一个二进制数， 并且前一日图表按二进制顺序排列。正是白锦独特的眼睛揭开了巫毒教地图上的奥秘。"你不应该把二元论看作是一门新科学，因为中国的傅福早就被发明出来了，"信中写道。"
白金送来了莱布尼茨与生俱来的画像
这封信于 1703 年 4 月 2 日被转交给莱布尼茨。他立即研究了先天图表，在每个八卦上标记了相应的阿拉伯数字，确认八卦图表的排列与二进制数一致。他完全同意白金的观点。作为二进制的实际例子，他将白进的发现纳入了二进制论文，并收录了先天图，题为"关于0和1的二进制算术的简单使用 - 关于二进制使用的含义和中国古代紫红色符号"，于1703年5月5日发送给法国皇家科学院，后来发表在1703年皇家科学院年鉴上。
莱布尼茨在1703年5月18日写给白金的信的文字记录
勒布尼茨处理完论文后，于5月18日回信给白金寄出。"这幅图像是世界上最古老的科学文物，数千年来一直没有被理解，但与二进制算术非常一致，"莱布尼茨写道。当你向我解释这些符号时，我碰巧向你介绍了二进制算术，它们碰巧发生得非常好。如果我没有发明二进制算术，即使仔细观察巫毒教图也可能是无法理解的。二十年前，我开始思考二进制，并意识到用0和1表示的数字更完美，更容易计算。"因为之前的波形图都没有按二元顺序排列，所以从来没有人发现过这个秘密，先天图是严格按顺序排列的，这是白金和莱布尼茨发现的。因此，莱布尼茨质疑为什么传统的八卦图不像先天性图那样按二元顺序排列，他在信中问白金，为什么《孔子，中国哲学家》中的福元八卦图与先天图不同。
帕克斯顿书中的六十四个八卦图表
从那以后，莱布尼茨不再说他发明了二进制，只说他重新发现了巫毒教的知识。他的《论中国人的自然哲学》有一节"论中华帝国开国元勋傅伟的文字，以及二元算术中使用的符号"，是他与白晋通信内容的总结，代表了他们的共同观点。上面写着：
"白金神父和我发现了帝国创始人傅伟创作的八卦地图的原始含义，它由一些虚线和实线组成，带有六十四个符号，使其成为中国最古老，最简单的文字。在傅后的几个世纪里，周文旺和他的儿子周功，以及五个世纪后的孔子，在八卦图中探索哲学，有些人不得不从中汲取风水和迷信。其实，六十四卦图是伟大的立法者傅伟创造的二元算术，几千年后，我重新发现了3。"
白金在研究和易学方面，虽然颇为有趣，但易学领域仍然缺乏深入的了解，他给莱布尼茨发来了很多错误的信息，将神话传说作为历史资料，傅傅作了虚假的赞美，没有解释天生的地图是画的，让莱布尼茨误认为先天地图是古代文物。白金甚至没有说出阴阳的名字，这导致莱布尼茨在手稿中称阴阳虚线，阳是实线。
莱布尼茨不是神，他受到拜金的影响，拜金崇拜易学文化，使他相信傅哈迪创造了二元系统，并愿意用美丽的话语赞美它。然而，这反映了莱布尼茨对美的难看渴望，而他自己对二元的发现却很轻。
三、巫毒八卦地图和二进制
在阴商时期，中国已经有了相对完整的十进制计数方法。根据人类文明史的常识，周毅作为文明之源的作品，其内容和思想都处于文化的萌芽状态，书中的算术知识极其简单，没有二元内容。通读《周轶》可以看出，所谓算术知识，无非是数数，就是用十进制的表达方式。《轻松学习》中有很多种巫毒八卦图，有八卦图，有六十四个八卦图。八卦图一般是对称的，而六十四个八卦图则根据单词的字数排序。从长沙马王贺汉墓中出土的周一和周一的顺序是不一样的，但不是按二元顺序排列的。
在易学研究领域有一种说法，阴有数值特征。从殷商上留下的一些陶器、骨头和竹子中出土的信息中，可以看出阴阳是从偶数演变而来的，阳是从奇数演变而来的。这些符号形成后，虽然突出了数字的哲学意义，但也存在数字模糊的意象，所以数学家把《易书》和数学联系在一起。作者是魏晋时期的刘辉，他在《算术笔记九章》中写道："前宝瑜的原画八卦，为了传递神的美德，为了爱万物，要造数九十九，为了换六。"宝是傅福的化名。刘辉的观点影响了此后的数学家。北宋的秦九轩在《数书第九章》中说：数学"来自塔洛河书，头发秘密，八卦九，混合精，极至皇帝的用处。"明朝的程达位在《算法统一》中包含了傅伟的八卦图，书中写着："赵有多少人？它始于这本书！伏地魔画八卦，大到有序，列出来打开事情做生意。凡天军官、地官、法历、军事任务和纤维的突然，都没多少，就是不在"容易"。"
使用大象数字来推导出替代的哲学思维，感觉就像是在进行数学运算。他在《外界视野》中论证："有意必须有文字，必须有文字，必须有文字，必须有数字。站立的次数就像生命，就像生命是文字，文字是意义。大象的数量也是蹄子。"这意味着思想可以用文字表达，文字可以用图像表达，图像可以用数字表达。反之亦然。因此，大象数字是表达思想的工具。这符合莱布尼茨的"宇宙字符"理念。
在蜻蜓绘制的先天性图中，只要阴为0，阳为1，它的排列和二进制数是完全一样的，这无疑是二元模型。然而，这种二元模型只是未被解开的柳树影子的结果，不能认为是创造了二元系统，只能说数学思想将先天映射统一为二元理论系统。
数学发展史的常识告诉我们，任何数学成就的取得都有两个原因，一个是数学内部理论研究的进步，二是外部社会对数学发展的要求。首先，他不是数学家，他在数学上没有成功，没有写过数学著作，也没有见过他与哪位数学家有过学术接触。他对二元论没有任何论述，对二元论一无所知，他没有明确定义和命名二元的数学概念，也没有科学地表达二元的重要性和意义，也没有完善二元论与其他数学概念之间的逻辑关系。从他的著作中看不出他比普通人更懂数学，并且像今天的"民间数学家"一样，创造二元系统来解决哥德巴赫猜想是绝对不可能的。不要说他是他那个时代的数学家，也没有人参与过二元研究领域。周翌语符号在宋代之前已经存在，周彝和傅炜八卦图中没有二元信息。这些符号在先天图中被重新排序，不是主动按照二进制原理，而是碰巧超出了二进制数的顺序。因此，我们只能谨慎地说，二元细菌正在先天地图中生长。
有人提出，"双重法则"就是"二合一"规则，完全是毫无根据的推测。它们不是一回事，因为它们只是在文字的意义上。"双法"的意思是加倍，即乘以2，是指生成巫毒八卦图的过程，前一级的每一个八卦单一增加百分点，八卦数量翻倍。即"一分为二，二分为四，四分为八，八分为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四。因此，阴阳分咲，使用软帮，轻松六位也4章。"这是一个完全十进制的语句，它与二进制的"二合一"无关。
从概念的原意来看，由阳和阴组成的八卦符号代表抽象的哲学事物，即使它们与数字有关，但在1-64的十进制系统中，包括宋元明清容易的科学家和数学家，没有人提出二进制数可以表达。在绘制先天性地图的过程中，计数中涉及的所有问题都通过十进制解决。说到那种八卦，他的表态是：千一、齐二、离三、地震四、五、六、七、坤八。如果知道二元原理，那么八卦符号的顺序就会很清楚，不需要用任何方法，很容易被记住，但是，直到南宋，朱琦还根据八卦符号的直观形象写下了记忆提示：干三连（☰），坤六破（☷）， ☳）、碗（☶）、中间（☲）、中间（☵）、上☱和短（☴）。这从一个方面反映了龚和朱都没有意识到先天图和二元系统之间的密切关系。清朝乾家时期，有一位著名的数学家王来，他的《两伯爵记》致力于入场论，他没有指出先天地图是二元的。
那么，先天性图是如何碰巧与二进制序列数相同的呢？这个问题让很多人感到困惑，甚至有学者用概率论来解释64个元素一共64个！几乎不可能在这种天文排列中找到与二进制数完全相同的顺序！然后得出的结论是，如果他不熟悉二元原理，他怎么能找到这种安排呢？
实际上，先天图和二进制由两个基本符号表示，这实际上是可以重复排列的元素的组合。一次取2个符号中的3个，排成一行，共23×8种排名，得到"周易"中的八卦和二进制中的前八个数字。一次取 2 个符号中的 6 个，在总共 26 x 64 行中排成一行，得到周毅中的前 64 个数字和二进制系统中的前 64 个数字。
先天图中的八卦序列与二元顺序相同，这是不可避免的事件。您不需要了解二进制，这不是绘制先天性地图的必要条件。事实是，龚创造性地使用了另一种数学方法，利用"树状图"自然生成了二元的"数学树"，这就是"Fu-64八卦顺序图"。
伏尔泰六十四卦顺序图
按照"树图"的绘画方法，阴阳漆成黑色，阳阳涂成白色。首先是太极拳，从下往上，按照"双法"，先画阴，再画阳，相画去。太极拳又产生了两个仪器，四个大象，八卦，十六个八卦，三十二个八卦和六十四个八卦，最终成为六十四个八卦顺序图，这个顺序图可以无限期地绘制。由于顺序图是严格按照"树状图"方法生成的，因此从下往上读取，形成六十四个八卦图符号。从左边的八卦顺序到右边的八卦顺序，满足二进制前六十四个数字的顺序是很自然的。
了解顺序图的结构可以很容易地绘制先天映射。先看它外面的圆，只要右半边的圆周伸直，就是对称轴向左部分的顺序。拉直圆周的左半部分是订单图对称轴的右侧。再看里面的方块图，规律就比较明显了，只有每个八卦的顺序按顺序从左到右，每八个为一个段落，依次排成八排。应该注意的是，以这种方式构建的先天映射仍然保持对称性，但只是将顺序图中的轴对称性转换为中心对称性。从数学上讲，很容易证明在圆形图表中，关于圆心对称性的两个八卦在顺序图中也是对称的。在方形图中，关于圆心对称性的两个八卦在顺序图中也是对称的。
由于先天性和二元性在代数中是同质的，因此先天映射的顺序和对称性不再是秘密的，这很容易理解，二元算术的数学性质，一般来说，也可以扩展到先天图。这并不意味着龚在那个时代发现了大量的现代数学知识，而是数学思想统一了先天地图中包含的简单二元因素。
四、莱布尼茨和二进制
在1703年5月18日的一封信中，莱布尼茨提到他在二十多年前发明了二进制，当时他在巴黎创立了微积分。在1707年12月15日致D.布尔盖的一封信中，莱布尼茨说："当我开始二进制算术时，我对《易书》的八卦图表知之甚少。莱布尼茨有一份手稿《二进制算术的解释》写于1679年3月15日，该手稿尚未出版，至今已被搁置了二十多年。
但是，所有的数学创新和发现都是按照前人开辟的道路进行的，在超越前人的过程中，不能保证一切启迪的思想成就都能得到照顾。在二元系统发明之前，莱布尼茨只是从魏卫国的《中国古代史》和斯派塞的《中国文史分析》中间接了解到易书，这些都不是数学著作，虽然魏卫国称《简易书》是数学著作，但也是一种推测。莱布尼茨看到的长篇八卦图不是浅滩绘制的先天地图，八卦地图的顺序是按哲学顺序排列的，而不是按二元顺序排列的。莱布尼茨的学术兴趣是发展"通用字符"的思想，他关心的是八卦符号的语言和逻辑含义，而不是从数学的角度来考虑问题，所以莱布尼茨在易学的文献中学不到二元信息。如果莱布尼茨受到启发，看到了巫毒教图，他的二进制论文就会在二十多年前发表。
此外，据说斯派塞的书在介绍voluminus地图时提到的短语"binarium multiplicatis"是二元的，莱布尼茨受到它的启发。这是不顾历史事实的推测。在斯派塞写这本书的时候，二进制的概念还没有被明确提出。"二进制"一词是由莱布尼茨引入学术界的，他当时还没有考虑过二进制。斯派塞不是数学家，他不知道二进制是什么。这个短语不表示二进制，而是指乘数2，这意味着Voodoo图的生成方式。
事实上，莱布尼茨发现二元系统的机会很简单，这完全是水对水系统的结果。考虑到数学认知定律，具有基本数学素养的人熟悉入门系统理论，任何入门系统都是普通的推理。事实上，任何大于1的自然数都可以用作入口系统的基础，从理论上讲，入口系统可以构造无限数量的位，这在数学上是非常简单的常识。
莱布尼茨于1663年夏天前往耶拿大学，与Erhard Weigel教授一起学习数学。韦格利乌斯对古希腊数学思想的研究非常感兴趣，提倡毕达哥拉斯和柏拉图的数学观点，认为物质世界的和谐符合数学定律。莱布尼茨受到老师思想的启发。1672年，韦格柳斯在耶拿大学期刊Joham Meyer上发表了"圣十的结构"，系统地提出了四向系统的概念，其中所有数字都用0，1，2和3表示，"三合一"，象征着"三"的完整性。不久，莱布尼茨写了一本《二进制算术的解释》的手稿。毫无疑问，莱布尼茨熟悉入门理论，无论是从老师的课堂还是从老师的论文中。
正如我们从莱布尼茨的《中国人的自然哲学》中了解到的那样，莱布尼茨对条目系统的历史非常熟悉，他提到罗马人使用了混合八度和小数的算术，并提到了历史上四边形和十进制系统的出现，他清楚地写道，正是韦格利斯的四分之一系统"给了我一个机会，建议所有数字都可以用二进制0和1." "
由此，莱布尼茨发明的二进制是受到他老师的启发，与巫毒八卦地图无关。有些人质疑莱布尼茨的说法，即他故意通过巫毒八卦地图掩盖了他对二进制的发现，这是没有事实依据的。莱布尼茨从未将二进制的发明视为自己的发明。相反，早在四千年前，他就吹捧了二元系统的发明，并将这一伟大发现归功于白金。
事实上，各种类型的就地计数在人类社会活动中早已存在。在世界文明的发源地，古巴比伦人首先发明了比特值系统，使用了六进制系统，玛雅人使用了十进制系统，只有中国发明了比特值系统，是第一个使用十进制系统的人。在商业一代甲骨文字有1-9位数值系统的符号法，战国时期出现了十进制计算的计数，以0为空，非常先进。太平洋美国马纳列瓦的部落早在1450年就使用二进制，波利尼西亚和澳大利亚的一些原住民仍然使用二进制5，其实是数学家所谓的发明，即人类世俗生活数学处理的计数方法，所以二进制的发明并不是一个伟大的数学成就。
事实上，莱布尼茨时代的数学家Y. Lobkowitz在他1670年出版的《双面数学》一书中也讨论了十进制和二进制。勒布尼茨可能不知道，在莎士比亚的时代，有一位才华横溢的英国数学家托马斯·哈里奥特6世（Thomas Harriot 6），他的遗骸包含着丰富的数学和物理独创性。因为当时没有科学期刊，这些结果到处都发表。Harriott在1603年的手稿《数学计算与注记》中详细论述了二进制算术，理论结构与莱布尼茨的几乎相同，以0和1作为基本计数符号，将二进制命名为二进制数，提出了加法减法和乘法算法，并讨论了二进制以连续分数的形式表示。
注释
1、胡洋，李长轩，《莱布尼茨二元与傅伟八卦吐槽》，上海人民出版社，2006年
2. 见R. Widmaier 编辑： Leibniz Korrespondiert mit China： Der Briefwechsel mit den Jesuitenmissionaren （1689-1714） Frankfurt Main am： Klostermann.1990
3、陈乐民主党主编 莱布尼茨 雷丁 南京 江苏教育出版社 2005年11月
4、《帝书》郑州中州古籍出版社，2007年1月
5. 见巴什马科娃等编辑刘少祖译《数学第一卷（第一卷）算术（第一卷）》，北京高等教育出版社，1959年6月
6，哈里奥特的故事出现在罗宾·阿里安罗德（Robyn Arianrhod）的《托马斯·哈里奥特：科学生活》（Thomas Harriot： A Life In Science）中，剑桥大学出版社2019年