集合论的创始人-康托

格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）是一位出生于俄罗斯的数学家，可以被认为是集合论的创始人，他在发现基数时引入了无穷数的概念。他还推进了三角级数的研究。

出生 1845 年 3 月 3 日，俄罗斯圣彼得堡

逝世 1918 年 1 月 6 日，德国哈勒

Georg Cantor的父亲 Georg Waldemar Cantor 是一位成功的商人，曾在圣彼得堡担任批发代理，后来在圣彼得堡证券交易所担任经纪人。Georg Waldemar Cantor 出生于丹麦，他是一个热爱文化和艺术的人。Georg 的母亲 Maria Anna Böhm 是俄罗斯人，非常喜欢音乐。当然，乔治从他父母是一位杰出的小提琴家那里继承了相当多的音乐和艺术天赋。乔治从小就信奉新教徒，这是他父亲的宗教信仰，而乔治的母亲是罗马天主教徒。

在接受家庭教师的早期教育后，康托尔在圣彼得堡上小学，然后在1856 年他 11 岁时全家移居德国。然而，康托尔[21 ]：-

... 怀念他早年在俄罗斯的日子，在德国从未感到安心，尽管他在那里度过了余生，似乎从未用俄语写作，他一定知道。

康托尔的父亲身体不好，搬到德国是为了找到比圣彼得堡严冬更温暖的气候。起初他们住在威斯巴登，康托在那里上过体育馆，然后他们搬到了法兰克福。康托尔在达姆施塔特的 Realschule 学习，并在那里寄宿。他于1860年毕业时发表了一份出色的报告，其中特别提到了他在数学方面的特殊技能，尤其是三角学。1860年进入达姆施塔特的 Höhere Gewerbeschule 后，他于1862年进入苏黎世理工学院。Cantor 的父亲选择将他送到 Höheren Gewerbeschule 的原因是他希望 Cantor 成为：-

……工程界的一颗璀璨之星。

然而，在1862 年，康托尔曾寻求父亲的许可，在大学学习数学，当最终他的父亲同意时，他欣喜若狂。然而，1863年 6月他的父亲去世，他在苏黎世的学习中断了。康托尔搬到柏林大学，在那里他与同学赫尔曼施瓦茨成为朋友。Cantor 参加了Weierstrass、Kummer和Kronecker 的讲座。他在哥廷根大学度过了1866 年的暑假，回到柏林完成了他关于数论的 论文De aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ在1867年。

虽然在柏林康托多了参与学生数学学会，成为该协会的会长在1864年- 65。他也是每周在酒馆聚会的一小群年轻数学家中的一员。1867 年获得博士学位后，康托尔在柏林的一所女子学校任教。然后，在1868 年，他加入了谢尔巴赫数学教师研讨会。在此期间，他致力于他的职业资格，并在1869 年被任命为哈雷之后立即提交了他的论文，同样是关于数论的，并获得了他的职业资格。

在哈雷，康托尔的研究方向从数论转向分析。这是由于Heine，他在 Halle 的一位资深同事，他向 Cantor 提出挑战，以证明关于函数表示为三角级数的唯一性的开放性问题。这是一个难题，曾被包括海涅本人以及狄利克雷、利普希茨和黎曼在内的许多数学家攻克过，未能成功。康托尔在1870 年4 月解决了证明唯一性的问题。他在1870 年至1872 年间发表了更多论文处理三角级数，这些都显示出魏尔斯特拉斯教学的影响。

康托尔于1872 年被提升为哈雷的特聘教授，并于同年与他在瑞士度假时认识的戴德金建立了友谊。康托尔在1872 年发表了一篇关于三角级数的论文，其中他根据有理数的收敛序列定义了无理数。Dedekind也在1872 年通过“Dedekind cut”发表了他对实数的定义，在这篇论文中Dedekind指的是 Cantor 的1872康托寄给他的纸。

在1873年坎托证明有理数可数，即，它们可以被放置在一个一一对应与所述自然数。他还证明了代数数，即作为具有整数系数的多项式方程根的数，是可数的。然而，他试图确定实数是否可数的尝试被证明更难。到1873 年12月，他已经证明实数是不可数的，并于1874 年发表在一篇论文中。一一对应的思想在本文中首次出现，但仅隐含在本文中。

一个超然的number 是一个无理数，它不是任何具有整数系数的多项式方程的根。刘维尔于1851 年确立超越数的存在。二十年后，在1874年的这部作品中，康托尔证明了在某种意义上，“几乎所有”数字都是超越的，他证明了实数是不可数的，而他又证明了代数数是可数的。

康托向前推进，自始至终都在与戴德金交换信件。他在1874年 1 月问自己的下一个问题是，是否可以将单位正方形映射成一条单位长度的线，其中1 - 1每个点的对应关系。在1874年1月5日给戴德金的一封信中，他写道[ 1 ]：-

是否可以将表面（例如包含边界的正方形）唯一地称为一条线（例如包含端点的直线段），以便表面上的每个点都有该线的对应点，反之亦然，对于线的每个点，表面上都有一个对应的点？我认为回答这个问题绝非易事，尽管答案似乎很明显是“否”，以至于几乎没有必要提供证据。

1874 年是康托尔个人生活中的重要 一年。同年春天，他与姐姐的朋友瓦利·古特曼订婚。他们于1874 年8月9日结婚，并在瑞士的因特拉肯度蜜月，康托在那里花了很多时间与戴德金进行数学讨论。 康托尔继续与德德金通信，分享他的想法并征求德德金的意见，并于1877 年写信给德德金，证明在区间[ 0 , 1 ]上存在1 - 1对应的点

并指出 磷纤维空间。康托尔对自己的发现感到惊讶，并写道：-

我看到了，但我不相信！

当然，这对几何学和空间维度的概念有影响。在尺寸上，其康托提交到主要的造纸克雷勒的杂志在1877年被以怀疑的眼光对待克罗内克，只有出版后戴德代表康托尔的干预。康托尔非常憎恨克罗内克对他的工作的反对，并且从未向克雷尔的期刊提交任何进一步的论文。

这就出现了关于尺寸的纸张克雷勒的杂志在1878使的概念1 - 1对应准确。本文讨论可数集，即那些在1 - 1点与自然数的对应关系。它研究等幂的集合，即那些彼此1 - 1对应的集合。坎托还讨论尺寸的概念，并强调一个事实，即他的间隔之间的对应关系[ 0，1]和单元方不是一个连续的地图。 1879 年至1884 年

间，康托尔在Mathematische Annalen 上发表了一系列六篇论文，旨在提供对集合论的基本介绍。克莱因可能对Mathematische Annalen出版它们产生了重大影响。然而，这些年来发生的许多问题对康托来说是困难的。尽管他在1879 年在海涅的推荐下被提升为正教授，但康托尔一直希望在一所更有声望的大学担任教授。他与施瓦茨的长期通信于1880 年结束，因为反对康托的思想的反对继续增长，施瓦茨不再支持康托工作的方向。然后在1881 年 10月海涅去世了，哈雷的椅子需要一个替代者来填补。

康托尔起草了一份由三位数学家组成的名单来填补海涅的席位，这个名单获得了批准。它将Dedekind 排在第一位，其次是Heinrich Weber，最后是Mertens。1882年初，德德金拒绝了康托尔的提议，这无疑对康托尔造成了沉重打击，而海因里希·韦伯和默滕斯也拒绝了，这让打击变得更糟。新名单拟定后，Wangerin被任命，但他从未与 Cantor 建立密切关系。康托尔和戴德金之间丰富的数学对应于1882 年晚些时候结束。

几乎在康托-戴德金通信结束的同时，康托开始了与米塔格-莱夫勒的另一次重要通信。很快，康托尔在Mittag-Leffler的期刊Acta Mathematica 上发表，但他在Mathematische Annalen 上的六篇重要系列论文也继续出现。本系列的第五篇论文Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ也作为单独的专着出版，由于多种原因而特别重要。首先，康托尔意识到他的集合理论没有得到他所希望的接受，而Grundlagen旨在回应批评。其次[ 3 ]：-

Grundlagen 的主要成就是将超限数表示为自然数的自主和系统扩展。

康托本人在论文中非常清楚地表示，他意识到反对他的想法的力量：-

……我意识到，在这项工作中，我将自己置于与广泛持有的关于数学无穷大的观点以及经常为数的性质辩护的观点之间的某种对立面。

1884 年 5 月末，康托尔首次记录到抑郁症发作。几周后他康复了，但现在似乎不那么自信了。他在 6 月底写信给Mittag-Leffler [ 3 ]：-

……我不知道什么时候才能回到继续我的科学工作。目前我对它完全无能为力，只能将自己限制在演讲中最必要的职责上；如果我有必要的精神新鲜感，我会更快乐地从事科学活动。

曾几何时，人们认为他的抑郁症是由数学问题引起的，尤其是他与克罗内克的关系困难的结果。然而，最近对精神疾病的更好理解意味着我们现在可以肯定康托尔的数学问题和他的困难关系被他的抑郁症大大放大了，但不是它的原因（参见例如[ 3 ]和[ 21 ]）。在1884 年的 精神疾病[ 3 ] 之后：-

...他在他最喜欢的哈茨山度假，出于某种原因决定尝试与克罗内克和解。克罗内克接受了这个手势，但他们两人一定很难忘记他们的敌意，他们之间的哲学分歧仍然没有受到影响。

数学的烦恼此时开始困扰康托尔，特别是他开始担心自己无法证明连续统假设，即实数的无穷大阶次于自然数的阶次。事实上，他以为他已经证明了它是假的，然后第二天发现了他的错误。他再次认为他已经证明了这一点，但很快就发现了他的错误。

在其他方面，一切也并不顺利，因为在1885 年， 米塔格-莱夫勒说服康托尔在达到证明阶段时从《数学学报》撤回他的一篇论文，因为他认为“ ……大约过早了一百年”。康托尔开玩笑说，但显然受到了伤害：-

如果Mittag-Leffler有他的方式，我应该等到1984 年，这对我来说似乎是一个太大的需求！......但当然，我再也不想知道关于 Acta Mathematica 的任何事情了。

Mittag-Leffler 的意思是这是一种善意，但它确实表明缺乏对 Cantor 工作重要性的认识。米塔格-莱夫勒和康托尔之间的通信在此事件发生后不久就几乎停止了，而导致康托尔在大约12年间迅速发展集合论的新思想的洪流似乎也几乎停止了。

在1886年康托买了漂亮的新房子Händelstrasse，一个德国作曲家亨德尔的名字命名的街道。年底前，一个儿子出生，完成了他的六个孩子的家庭。他从集合论的数学发展转向两个新方向，首先与许多哲学家讨论他的理论的哲学方面（他于1888 年发表了这些信件），其次在Clebsch死后接手了他在1890 年实现的创立德意志数学协会的想法。康托尔于1891年 9 月在哈雷主持了协会的第一次会议，尽管他和克罗内克之间存在激烈的对立，康托还是邀请克罗内克在第一次会议上讲话。 然而，克罗内克从未在会议上发表讲话，因为他的妻子在夏末的一次登山事故中受了重伤，不久之后就去世了。Cantor was elected president of the Deutsche Mathematiker-Vereinigung

在第一次会议上并担任该职位直到1893 年。他帮助组织了1893年9月在慕尼黑举行的协会会议，但在会议之前他再次生病，无法参加。

康托尔在1894 年发表了一篇相当奇怪的论文，其中列出了所有1000以内的偶数都可以写成两个素数之和的方式。由于哥德巴赫猜想的验证在40年前就已经完成了10000 次，因此这篇奇怪的论文很可能比哥德巴赫猜想更能说明康托尔的心理状态。 他关于集合论的最后一篇主要论文发表于

1895年和1897年，又在数学年鉴在克莱因的编辑工作，并超限算术精细的调查。两篇论文之间存在相当长的差距是因为康托虽然在第一部分发表六个月后完成了第二部分的写作，但他希望在第二部分中包含对连续统假设的证明。然而，事实并非如此，但第二篇论文描述了他的良序集和序数理论。

在1897年康托出席了在苏黎世数学家的第一次国际会议。在他们在大会上的演讲[ 4 ] 中：-

……赫尔维茨公开表达了他对康托尔的崇高敬意，并宣称康托尔是函数理论的丰富者。雅克·阿达玛 (Jacques Hadamard)表示，集合论的概念是众所周知且不可或缺的工具。

在大会上，康托尔遇到了戴德金，他们重新建立了友谊。然而，到大会召开时，康托尔已经发现了集合论中的第一个悖论。他在1895 年和1897 年的调查论文中发现了这些悖论，并于1896 年写信给希尔伯特，向他解释了这个悖论。Burali-Forti独立发现了这个悖论，并于1897 年发表。康托尔开始与戴德金通信，试图了解如何解决问题，但他反复发作的精神疾病迫使他在1899 年停止给戴德金写信。

每当康托遭受抑郁时期的折磨时，他往往会远离数学，转向哲学和他对文学的浓厚兴趣，相信弗朗西斯·培根创作了莎士比亚的戏剧。例如，在1884 年生病时，他要求允许他讲授哲学而不是数学，并且他开始深入研究伊丽莎白时代的文学，试图证明他的培根-莎士比亚理论。他于1896 年和1897年开始出版有关文学问题的小册子。1896 年10 月他母亲的去世和1899年 1 月他弟弟的去世给康托带来了额外的压力。 1899

年 10月康托尔申请并获准在1899 年至1900 年的冬季学期休学。然后在16个年12月1899年Cantor公司的最小的儿子死了。从那时起直到他生命的尽头，他都与抑郁症的精神疾病作斗争。他继续教，但也不得不采取从他的教学休假若干冬季学期，那些1902年- 03，1904年- 05和1907年的- 08。从1899 年开始，康托尔也曾在疗养院度过了一段时间，当时正是他精神疾病最严重的时期向前。他确实继续工作并发表了他的培根-莎士比亚理论，当然也没有完全放弃数学。1903 年9月，他在Deutsche Mathematiker-Vereinigung的一次会议上讲授了集合论的悖论，并于1904 年8 月参加了在海德堡举行的国际数学家大会。 在1905年康托在医院从一个咒语，回国后写了宗教工作。他还就集合论的历史和他的宗教小册子与Jourdain通信。在1909年的大部分时间里，他以健康不佳为由休假后，他在1910 年和1911 年履行了他的大学职责。

. 正是在这一年，他高兴地收到了来自圣安德鲁斯苏格兰大学的邀请，出席了500个 大学的成立作为一个杰出的外国学者周年。庆祝活动于1911年9 月12 日至15日举行，但[ 21 ] :-

在访问期间，他显然开始表现得古怪，就培根-莎士比亚的问题滔滔不绝。然后他到伦敦去了几天。

康托尔曾希望与刚刚出版《数学原理》的罗素会面。然而健康不佳和儿子生病的消息让康托尔没有见到拉塞尔就回到了德国。次年，康托尔被圣安德鲁斯大学授予荣誉法学博士学位，但他病重而无法亲自获得学位。 康托尔于1913 年退休，由于德国的战争条件，他在病痛中度过了最后几年。计划在哈雷纪念Cantor公司的一项主要活动70日 在生日1915年曾因为战争被取消，但是较小的事件在他的家乡举行。1917年 6月

他最后一次进入疗养院，并不断给妻子写信，要求允许他回家。他死于心脏病发作。

希尔伯特将康托的工作描述为：-

...数学天才的最好产物，也是人类纯粹智力活动的最高成就之一。