集合論的創始人-康托

格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）是一位出生于俄羅斯的數學家，可以被認為是集合論的創始人，他在發現基數時引入了無窮數的概念。他還推進了三角級數的研究。

出生 1845 年 3 月 3 日，俄羅斯聖彼得堡

逝世 1918 年 1 月 6 日，德國哈勒

Georg Cantor的父親 Georg Waldemar Cantor 是一位成功的商人，曾在聖彼得堡擔任批發代理，後來在聖彼得堡證券交易所擔任經紀人。Georg Waldemar Cantor 出生于丹麥，他是一個熱愛文化和藝術的人。Georg 的母親 Maria Anna Böhm 是俄羅斯人，非常喜歡音樂。當然，喬治從他父母是一位傑出的小提琴家那裡繼承了相當多的音樂和藝術天賦。喬治從小就信奉新教徒，這是他父親的宗教信仰，而喬治的母親是羅馬天主教徒。

在接受家庭教師的早期教育後，康托爾在聖彼得堡上國小，然後在1856 年他 11 歲時全家移居德國。然而，康托爾[21 ]：-

... 懷念他早年在俄羅斯的日子，在德國從未感到安心，盡管他在那裡度過了餘生，似乎從未用俄語寫作，他一定知道。

康托爾的父親身體不好，搬到德國是為了找到比聖彼得堡嚴冬更溫暖的氣候。起初他們住在威斯巴登，康托在那裡上過體育館，然後他們搬到了法蘭克福。康托爾在達姆施塔特的 Realschule 學習，并在那裡寄宿。他于1860年畢業時發表了一份出色的報告，其中特别提到了他在數學方面的特殊技能，尤其是三角學。1860年進入達姆施塔特的 Höhere Gewerbeschule 後，他于1862年進入蘇黎世理工學院。Cantor 的父親選擇将他送到 Höheren Gewerbeschule 的原因是他希望 Cantor 成為：-

……工程界的一顆璀璨之星。

然而，在1862 年，康托爾曾尋求父親的許可，在大學學習數學，當最終他的父親同意時，他欣喜若狂。然而，1863年 6月他的父親去世，他在蘇黎世的學習中斷了。康托爾搬到柏林大學，在那裡他與同學赫爾曼施瓦茨成為朋友。Cantor 參加了Weierstrass、Kummer和Kronecker 的講座。他在哥廷根大學度過了1866 年的暑假，回到柏林完成了他關于數論的 論文De aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ在1867年。

雖然在柏林康托多了參與學生數學學會，成為該協會的會長在1864年- 65。他也是每周在酒館聚會的一小群年輕數學家中的一員。1867 年獲得博士學位後，康托爾在柏林的一所女子學校任教。然後，在1868 年，他加入了謝爾巴赫數學教師研讨會。在此期間，他緻力于他的職業資格，并在1869 年被任命為哈雷之後立即送出了他的論文，同樣是關于數論的，并獲得了他的職業資格。

在哈雷，康托爾的研究方向從數論轉向分析。這是由于Heine，他在 Halle 的一位資深同僚，他向 Cantor 提出挑戰，以證明關于函數表示為三角級數的唯一性的開放性問題。這是一個難題，曾被包括海涅本人以及狄利克雷、利普希茨和黎曼在内的許多數學家攻克過，未能成功。康托爾在1870 年4 月解決了證明唯一性的問題。他在1870 年至1872 年間發表了更多論文處理三角級數，這些都顯示出魏爾斯特拉斯教學的影響。

康托爾于1872 年被提升為哈雷的特聘教授，并于同年與他在瑞士度假時認識的戴德金建立了友誼。康托爾在1872 年發表了一篇關于三角級數的論文，其中他根據有理數的收斂序列定義了無理數。Dedekind也在1872 年通過“Dedekind cut”發表了他對實數的定義，在這篇論文中Dedekind指的是 Cantor 的1872康托寄給他的紙。

在1873年坎托證明有理數可數，即，它們可以被放置在一個一一對應與所述自然數。他還證明了代數數，即作為具有整數系數的多項式方程根的數，是可數的。然而，他試圖确定實數是否可數的嘗試被證明更難。到1873 年12月，他已經證明實數是不可數的，并于1874 年發表在一篇論文中。一一對應的思想在本文中首次出現，但僅隐含在本文中。

一個超然的number 是一個無理數，它不是任何具有整數系數的多項式方程的根。劉維爾于1851 年确立超越數的存在。二十年後，在1874年的這部作品中，康托爾證明了在某種意義上，“幾乎所有”數字都是超越的，他證明了實數是不可數的，而他又證明了代數數是可數的。

康托向前推進，自始至終都在與戴德金交換信件。他在1874年 1 月問自己的下一個問題是，是否可以将機關正方形映射成一條機關長度的線，其中1 - 1每個點的對應關系。在1874年1月5日給戴德金的一封信中，他寫道[ 1 ]：-

是否可以将表面（例如包含邊界的正方形）唯一地稱為一條線（例如包含端點的直線段），以便表面上的每個點都有該線的對應點，反之亦然，對于線的每個點，表面上都有一個對應的點？我認為回答這個問題絕非易事，盡管答案似乎很明顯是“否”，以至于幾乎沒有必要提供證據。

1874 年是康托爾個人生活中的重要 一年。同年春天，他與姐姐的朋友瓦利·古特曼訂婚。他們于1874 年8月9日結婚，并在瑞士的因特拉肯度蜜月，康托在那裡花了很多時間與戴德金進行數學讨論。 康托爾繼續與德德金通信，分享他的想法并征求德德金的意見，并于1877 年寫信給德德金，證明在區間[ 0 , 1 ]上存在1 - 1對應的點

并指出 磷纖維空間。康托爾對自己的發現感到驚訝，并寫道：-

我看到了，但我不相信！

當然，這對幾何學和空間次元的概念有影響。在尺寸上，其康托送出到主要的造紙克雷勒的雜志在1877年被以懷疑的眼光對待克羅内克，隻有出版後戴德代表康托爾的幹預。康托爾非常憎恨克羅内克對他的工作的反對，并且從未向克雷爾的期刊送出任何進一步的論文。

這就出現了關于尺寸的紙張克雷勒的雜志在1878使的概念1 - 1對應準确。本文讨論可數集，即那些在1 - 1點與自然數的對應關系。它研究等幂的集合，即那些彼此1 - 1對應的集合。坎托還讨論尺寸的概念，并強調一個事實，即他的間隔之間的對應關系[ 0，1]和單元方不是一個連續的地圖。 1879 年至1884 年

間，康托爾在Mathematische Annalen 上發表了一系列六篇論文，旨在提供對集合論的基本介紹。克萊因可能對Mathematische Annalen出版它們産生了重大影響。然而，這些年來發生的許多問題對康托來說是困難的。盡管他在1879 年在海涅的推薦下被提升為正教授，但康托爾一直希望在一所更有聲望的大學擔任教授。他與施瓦茨的長期通信于1880 年結束，因為反對康托的思想的反對繼續增長，施瓦茨不再支援康托工作的方向。然後在1881 年 10月海涅去世了，哈雷的椅子需要一個替代者來填補。

康托爾起草了一份由三位數學家組成的名單來填補海涅的席位，這個名單獲得了準許。它将Dedekind 排在第一位，其次是Heinrich Weber，最後是Mertens。1882年初，德德金拒絕了康托爾的提議，這無疑對康托爾造成了沉重打擊，而海因裡希·韋伯和默滕斯也拒絕了，這讓打擊變得更糟。新名單拟定後，Wangerin被任命，但他從未與 Cantor 建立密切關系。康托爾和戴德金之間豐富的數學對應于1882 年晚些時候結束。

幾乎在康托-戴德金通信結束的同時，康托開始了與米塔格-萊夫勒的另一次重要通信。很快，康托爾在Mittag-Leffler的期刊Acta Mathematica 上發表，但他在Mathematische Annalen 上的六篇重要系列論文也繼續出現。本系列的第五篇論文Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ也作為單獨的專着出版，由于多種原因而特别重要。首先，康托爾意識到他的集合理論沒有得到他所希望的接受，而Grundlagen旨在回應批評。其次[ 3 ]：-

Grundlagen 的主要成就是将超限數表示為自然數的自主和系統擴充。

康托本人在論文中非常清楚地表示，他意識到反對他的想法的力量：-

……我意識到，在這項工作中，我将自己置于與廣泛持有的關于數學無窮大的觀點以及經常為數的性質辯護的觀點之間的某種對立面。

1884 年 5 月末，康托爾首次記錄到抑郁症發作。幾周後他康複了，但現在似乎不那麼自信了。他在 6 月底寫信給Mittag-Leffler [ 3 ]：-

……我不知道什麼時候才能回到繼續我的科學工作。目前我對它完全無能為力，隻能将自己限制在演講中最必要的職責上；如果我有必要的精神新鮮感，我會更快樂地從事科學活動。

曾幾何時，人們認為他的抑郁症是由數學問題引起的，尤其是他與克羅内克的關系困難的結果。然而，最近對精神疾病的更好了解意味着我們現在可以肯定康托爾的數學問題和他的困難關系被他的抑郁症大大放大了，但不是它的原因（參見例如[ 3 ]和[ 21 ]）。在1884 年的 精神疾病[ 3 ] 之後：-

...他在他最喜歡的哈茨山度假，出于某種原因決定嘗試與克羅内克和解。克羅内克接受了這個手勢，但他們兩人一定很難忘記他們的敵意，他們之間的哲學分歧仍然沒有受到影響。

數學的煩惱此時開始困擾康托爾，特别是他開始擔心自己無法證明連續統假設，即實數的無窮大階次于自然數的階次。事實上，他以為他已經證明了它是假的，然後第二天發現了他的錯誤。他再次認為他已經證明了這一點，但很快就發現了他的錯誤。

在其他方面，一切也并不順利，因為在1885 年， 米塔格-萊夫勒說服康托爾在達到證明階段時從《數學學報》撤回他的一篇論文，因為他認為“ ……大約過早了一百年”。康托爾開玩笑說，但顯然受到了傷害：-

如果Mittag-Leffler有他的方式，我應該等到1984 年，這對我來說似乎是一個太大的需求！......但當然，我再也不想知道關于 Acta Mathematica 的任何事情了。

Mittag-Leffler 的意思是這是一種善意，但它确實表明缺乏對 Cantor 工作重要性的認識。米塔格-萊夫勒和康托爾之間的通信在此事件發生後不久就幾乎停止了，而導緻康托爾在大約12年間迅速發展集合論的新思想的洪流似乎也幾乎停止了。

在1886年康托買了漂亮的新房子Händelstrasse，一個德國作曲家亨德爾的名字命名的街道。年底前，一個兒子出生，完成了他的六個孩子的家庭。他從集合論的數學發展轉向兩個新方向，首先與許多哲學家讨論他的理論的哲學方面（他于1888 年發表了這些信件），其次在Clebsch死後接手了他在1890 年實作的創立德意志數學協會的想法。康托爾于1891年 9 月在哈雷主持了協會的第一次會議，盡管他和克羅内克之間存在激烈的對立，康托還是邀請克羅内克在第一次會議上講話。 然而，克羅内克從未在會議上發表講話，因為他的妻子在夏末的一次登山事故中受了重傷，不久之後就去世了。Cantor was elected president of the Deutsche Mathematiker-Vereinigung

在第一次會議上并擔任該職位直到1893 年。他幫助組織了1893年9月在慕尼黑舉行的協會會議，但在會議之前他再次生病，無法參加。

康托爾在1894 年發表了一篇相當奇怪的論文，其中列出了所有1000以内的偶數都可以寫成兩個素數之和的方式。由于哥德巴赫猜想的驗證在40年前就已經完成了10000 次，是以這篇奇怪的論文很可能比哥德巴赫猜想更能說明康托爾的心理狀态。 他關于集合論的最後一篇主要論文發表于

1895年和1897年，又在數學年鑒在克萊因的編輯工作，并超限算術精細的調查。兩篇論文之間存在相當長的差距是因為康托雖然在第一部分發表六個月後完成了第二部分的寫作，但他希望在第二部分中包含對連續統假設的證明。然而，事實并非如此，但第二篇論文描述了他的良序集和序數理論。

在1897年康托出席了在蘇黎世數學家的第一次國際會議。在他們在大會上的演講[ 4 ] 中：-

……赫爾維茨公開表達了他對康托爾的崇高敬意，并宣稱康托爾是函數理論的豐富者。雅克·阿達瑪 (Jacques Hadamard)表示，集合論的概念是衆所周知且不可或缺的工具。

在大會上，康托爾遇到了戴德金，他們重建立立了友誼。然而，到大會召開時，康托爾已經發現了集合論中的第一個悖論。他在1895 年和1897 年的調查論文中發現了這些悖論，并于1896 年寫信給希爾伯特，向他解釋了這個悖論。Burali-Forti獨立發現了這個悖論，并于1897 年發表。康托爾開始與戴德金通信，試圖了解如何解決問題，但他反複發作的精神疾病迫使他在1899 年停止給戴德金寫信。

每當康托遭受抑郁時期的折磨時，他往往會遠離數學，轉向哲學和他對文學的濃厚興趣，相信弗朗西斯·培根創作了莎士比亞的戲劇。例如，在1884 年生病時，他要求允許他講授哲學而不是數學，并且他開始深入研究伊麗莎白時代的文學，試圖證明他的培根-莎士比亞理論。他于1896 年和1897年開始出版有關文學問題的小冊子。1896 年10 月他母親的去世和1899年 1 月他弟弟的去世給康托帶來了額外的壓力。 1899

年 10月康托爾申請并獲準在1899 年至1900 年的冬季學期休學。然後在16個年12月1899年Cantor公司的最小的兒子死了。從那時起直到他生命的盡頭，他都與抑郁症的精神疾病作鬥争。他繼續教，但也不得不采取從他的教學休假若幹冬季學期，那些1902年- 03，1904年- 05和1907年的- 08。從1899 年開始，康托爾也曾在療養院度過了一段時間，當時正是他精神疾病最嚴重的時期向前。他确實繼續工作并發表了他的培根-莎士比亞理論，當然也沒有完全放棄數學。1903 年9月，他在Deutsche Mathematiker-Vereinigung的一次會議上講授了集合論的悖論，并于1904 年8 月參加了在海德堡舉行的國際數學家大會。 在1905年康托在醫院從一個咒語，回國後寫了宗教工作。他還就集合論的曆史和他的宗教小冊子與Jourdain通信。在1909年的大部分時間裡，他以健康不佳為由休假後，他在1910 年和1911 年履行了他的大學職責。

. 正是在這一年，他高興地收到了來自聖安德魯斯蘇格蘭大學的邀請，出席了500個 大學的成立作為一個傑出的外國學者周年。慶祝活動于1911年9 月12 日至15日舉行，但[ 21 ] :-

在通路期間，他顯然開始表現得古怪，就培根-莎士比亞的問題滔滔不絕。然後他到倫敦去了幾天。

康托爾曾希望與剛剛出版《數學原理》的羅素會面。然而健康不佳和兒子生病的消息讓康托爾沒有見到拉塞爾就回到了德國。次年，康托爾被聖安德魯斯大學授予榮譽法學博士學位，但他病重而無法親自獲得學位。 康托爾于1913 年退休，由于德國的戰争條件，他在病痛中度過了最後幾年。計劃在哈雷紀念Cantor公司的一項主要活動70日 在生日1915年曾因為戰争被取消，但是較小的事件在他的家鄉舉行。1917年 6月

他最後一次進入療養院，并不斷給妻子寫信，要求允許他回家。他死于心髒病發作。

希爾伯特将康托的工作描述為：-

...數學天才的最好産物，也是人類純粹智力活動的最高成就之一。