【动态规划】不同路径

链接 https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。问总共有多少条不同的路径？

定义： d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示从索引号 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)到索引号 ( i , j ) (i,j) (i,j)的路径走法的数量

边界：第一行和第一列， d p [ 0 ] [ 0 ] dp[0][0] dp[0][0]​​只能是1。同时，由于只能下走或右走，因此第一行和第一列都是可直接计算的，均为1

状态转移方程： d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]​

说明：当前值，等于上一行和左一列的和

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        # 定义
        dp = [[0]*n for _ in range(m)]
        # 边界
        for i in range(n):
            dp[0][i] = 1
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
        # 状态转移
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        return dp[m - 1][n - 1]
           

因为只需要记录上一行和左一列对应的数值，因此可进一步优化空间

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [1] * n
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[j] += dp[j-1]
        return dp[-1]