基于Mindlin模型的悬臂梁传感器接触滞后误差分析
目前，对于一般的工业与民用领域，悬譬梁式传感器的测量误差，包括非线性误差、滞后误差和蠕变误差等都能够满足使用要求，但是随着设计方法、材料科学等方面的发展，人们对传感器的精度等级要求的日益提高。
尤其是在食品、制药、贵金属制品等行业的需求增加，高精度的传感器市场需求也不断扩大。
从宏观上看，接触表面摩擦只与材料和接触面的法向正压力有关，摩擦力耗散能量必须由摩擦力和相对滑移两个条件同时具备。
但是传感器安装后接触表面不会出现明显的相对滑移，因此宏观的摩擦不能解释安装面的能量耗散；从微观角度分析，采用目前接触表面之间的微动摩擦模型对接触面进行分析，其中部分滑移问题的求解方法首先由Cattaneo于1938年提出，并由R.D.Mindlin于1949年独立完成。
Mindlin接触模型是圆柱体与平面在正压力和切向力共同作用相接触，接触过程中两个方向的载荷共同作用在接触面使接触面上产生微小的相对相对滑移，如图1所示。
当传感器开始承受载荷时，接触面之间不会存在明显的相对滑移，但是之间必然存在相应的正应力和切应力，对于不同的结构可以通过有限元或边界元等方法计算应力状态。
Fouvry等根据Mindlin模型的解得出接触过程中的耗散能量，当传感器的安装面与加载分别与基础和连接件相接触时，可以看作离散的微小接触圆柱与平面接触。
因此在已知基础面上正应力和切应力情况下，可以利用Mindlin接触模型计算，可得出圆柱面接触条件的微小接触区在接触过程中摩擦力耗散能量。
当载荷变化时，载荷做的功为力与加载点位移的乘积，功一部分被转化为弹性体的弹性势能，其余被耗散掉。
卸载时，弹性体的弹性恢复力做功，将弹性势能转化为功的同时还有一部分能量被耗散掉，参考结构动力学中粘滞阻尼的分析方法，将加载和卸载过程简化成一个与加载卸载周期耗散能量相等的椭圆回线，如图2所示。
与一般的梁式传感器结构相同，悬臂梁一端通过与螺栓与底铁固定，另一端为加载端，加载端施加集中载荷，分别在螺栓和悬臂梁之间、悬臂梁与底铁之间接触模型，同时定义螺栓与测试底铁固定连接。
另外，在螺栓上定义恒定的预紧力，预紧力根据安装力矩换算，在定义接触模型时选取钢材对钢材的摩擦系数。
对模型采用有限元方法进行计算，定义载荷边界条件为本载孔本受集中载荷，传感器的安装底铁下表面定义固定约束：螺栓、热卷、传感器和底铁各接触面之间定义接触。
需要注意的是模型中载荷不宜过大，这样做的目的是保证整个悬臂梁内部应力较小，从而忽略材料滞后、蠕变等因素的影响，计算可得接触面的法向应力和切向应力。
其中法向应力为σy，对于两接触面的σx，σz，Txz相同，不会产生相对滑移趋势，所以切向应力只有TyxTyz应力分布结果如图4和图5所示。
采用线性插值，可得接触面上每个点的应力状态，将两水平正交方向的切应力耗散的能量分别求出，再根据叠加原理得出接触表面的接触耗散能量，将耗散能量等效成椭圆回线，由公式可计算出接触耗散转化后的滞后相对误差。
改变每次加载和卸载时的载荷额度进行计算，可以得出加载历程的应力变化，读取不同载荷额度的计算结果，可得出接触耗散的能量换算所得滞后相对误差与加载额度的关系，如图6所示。
从计算所得结果图6a中曲线可以看出随着载荷额度增加，接触面耗散的能量先增加逐渐减少，同时随着预紧力的增加耗散的能量增加，说明接触所耗散的能量与预紧力有关，这是符合库仑定律的。
另外从图6b中可以看出耗散能量的相对值减少，说明当载荷增加时，耗散能量越多，但是当耗散的能量与弹性势能达到一定程度时，局部由于切向应力过大，克服摩擦作用表面的接触会发生相对滑移，耗散的能量会趋向常数。
由此可见，在测试传感器时最好采用适当的加载卸载条件，每次加载的额度不易过大或过小，否则会得出不同的测试结果，加载历程改变能够得出不同的测试结果，这是由悬臂梁结构特点决定，是由不同的结构造成的差异。
本文对悬臂梁加载和卸载产生的滞后误差来源进行分析，根据接触力学建立悬譬梁接触表面的物理模型，通过力学推导，得出悬譬梁接触面耗散的能量，再根据耗散的能量得出接触面引起的滞后误差。
（1）采用有限元方法误差分析计算，对比试验得出以下结论：通过Mindlin模型能计算悬臂剪切梁接触面的耗散能量，对接触面再测试过程中引起的滞后误差进行定量计算。
（2）测试条件对悬臂梁式传感器测试结果有影响，设计测试传感器时应选择适当的测试方法保证使用精度。
（3）悬臂梁式传感器的滞后误差与容量有直接关系，可通过结构设计调整接触面在加载时的应力变化，从而降低滞后误差，实现提高传感器精度的目的。
