[每日算法] leetcode第221题 Maximal Square

原题目描述

Given a 2D binary matrix filled with 0’s and 1’s, find the largest square containing only 1’s and return its area.

Example:

Input: 

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

Output: 4
           

题目大意

题干清晰简短，要求我们求出给定矩阵中最大的只包含‘1’的正方形，而且该题归为DP，所以我们优先从DP的方向来思考这道题目。

解题思路

该题归类为DP，所以很明显是往DP的方向去思考，如何将问题转化为子问题，并求出其递归方程。

我们可以从正方形的边角入手，首先，如果一个点是全为‘1’正方形的右下角，那么该点必须为‘1’，且该点的左边、上面、左上角需要都为‘1’，才能使得构成一个更大的正方形S，否则，以该点为右下角的正方形的面积最大只能为1了。

然后，我们可以进一步思考，考虑左边、上面、左上角的点，以这些点为右下角的最大正方形，这三个正方形与上面的正方形 S 能否构成一个更大的正方形。

• 最好的情况是以它的上方，左方和左上方为右下角的正方形的大小都一样的，边长都为E，这样加上S就可以构成一个更大的正方形（忽略重叠），更大的正方形的边长为E+1。
• 如果以它的上方，左方和左上方为右下角的正方形的大小不一样，合起来就会缺某个角落，这时候只能取三个正方形中最小的正方形的边长加1，获得我们需要的更大的正方形的边长。

假设dp[i][j] 表示以i，j为右下角的正方形的最大边长，则有以下的递推方程

dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
           

求出最大的边长之后，我们便可以求出最大的面积了。

算法复杂度

时间 O(MN) 空间 O(MN)

C++代码实现

这里，我分别实现了递归和非递归两种实现，其实相差并不大，都需要用一个数组来存储dp[i][j]（递归用来减少重复计算），然后对于临界情况的讨论是相同的，当i或j为0时，此时以该点为右下角的最大正方形便是它本身了。

递归版本

class Solution {
public:
    vector<vector<char>> matrix;
    int dp[1000][1000] = {};
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        this->matrix = matrix;
        if (matrix.size() == 0)
            return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        int max_edge = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                dp[i][j] = -1;
            }
        }
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                max_edge = max(max_edge, DP(i, j));
            }
        }
        return max_edge*max_edge;
    }

    int DP(int i, int j) {
        if (dp[i][j] != -1)
            return dp[i][j];
        else if (matrix[i][j] == '0')
            dp[i][j] =  0;
        else if (i == 0||j == 0)
            dp[i][j] = 1;
        else
            dp[i][j] = min(DP(i-1, j-1), min(DP(i-1, j), DP(i, j-1))) + 1;
        return dp[i][j];
    }
};
           

非递归版本

class Solution {
public:
    int dp[1000][1000] = {};
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        if (matrix.size() == 0)
            return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        int max_edge = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = matrix[i][0] - '0';
            max_edge = max(max_edge, dp[i][0]);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = matrix[0][i] - '0';
            max_edge = max(max_edge, dp[0][i]);
        }

        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                if (matrix[i][j] == '0')
                    dp[i][j] = 0;
                else
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])) + 1;
                max_edge = max(max_edge, dp[i][j]);
            }
        }
        return max_edge*max_edge;
    }
};