[每日算法] leetcode第221題 Maximal Square

原題目描述

Given a 2D binary matrix filled with 0’s and 1’s, find the largest square containing only 1’s and return its area.

Example:

Input: 

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

Output: 4
           

題目大意

題幹清晰簡短，要求我們求出給定矩陣中最大的隻包含‘1’的正方形，而且該題歸為DP，是以我們優先從DP的方向來思考這道題目。

解題思路

該題歸類為DP，是以很明顯是往DP的方向去思考，如何将問題轉化為子問題，并求出其遞歸方程。

我們可以從正方形的邊角入手，首先，如果一個點是全為‘1’正方形的右下角，那麼該點必須為‘1’，且該點的左邊、上面、左上角需要都為‘1’，才能使得構成一個更大的正方形S，否則，以該點為右下角的正方形的面積最大隻能為1了。

然後，我們可以進一步思考，考慮左邊、上面、左上角的點，以這些點為右下角的最大正方形，這三個正方形與上面的正方形 S 能否構成一個更大的正方形。

• 最好的情況是以它的上方，左方和左上方為右下角的正方形的大小都一樣的，邊長都為E，這樣加上S就可以構成一個更大的正方形（忽略重疊），更大的正方形的邊長為E+1。
• 如果以它的上方，左方和左上方為右下角的正方形的大小不一樣，合起來就會缺某個角落，這時候隻能取三個正方形中最小的正方形的邊長加1，獲得我們需要的更大的正方形的邊長。

假設dp[i][j] 表示以i，j為右下角的正方形的最大邊長，則有以下的遞推方程

dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
           

求出最大的邊長之後，我們便可以求出最大的面積了。

算法複雜度

時間 O(MN) 空間 O(MN)

C++代碼實作

這裡，我分别實作了遞歸和非遞歸兩種實作，其實相差并不大，都需要用一個數組來存儲dp[i][j]（遞歸用來減少重複計算），然後對于臨界情況的讨論是相同的，當i或j為0時，此時以該點為右下角的最大正方形便是它本身了。

遞歸版本

class Solution {
public:
    vector<vector<char>> matrix;
    int dp[1000][1000] = {};
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        this->matrix = matrix;
        if (matrix.size() == 0)
            return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        int max_edge = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                dp[i][j] = -1;
            }
        }
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                max_edge = max(max_edge, DP(i, j));
            }
        }
        return max_edge*max_edge;
    }

    int DP(int i, int j) {
        if (dp[i][j] != -1)
            return dp[i][j];
        else if (matrix[i][j] == '0')
            dp[i][j] =  0;
        else if (i == 0||j == 0)
            dp[i][j] = 1;
        else
            dp[i][j] = min(DP(i-1, j-1), min(DP(i-1, j), DP(i, j-1))) + 1;
        return dp[i][j];
    }
};
           

非遞歸版本

class Solution {
public:
    int dp[1000][1000] = {};
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        if (matrix.size() == 0)
            return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        int max_edge = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = matrix[i][0] - '0';
            max_edge = max(max_edge, dp[i][0]);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = matrix[0][i] - '0';
            max_edge = max(max_edge, dp[0][i]);
        }

        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                if (matrix[i][j] == '0')
                    dp[i][j] = 0;
                else
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])) + 1;
                max_edge = max(max_edge, dp[i][j]);
            }
        }
        return max_edge*max_edge;
    }
};