三个火枪手的博弈

在博弈论里，有一个”三个火枪手”的逻辑推理题。

有3个火枪手甲、乙、丙，彼此十分痛恨，准备决斗。

甲枪法最好，命中概率80%。

乙枪法次之，命中概率60%。

丙枪法最差，命中概率40%。

很显然，甲实力最强，乙次之，丙最弱。

如果是一对一决斗，丙无疑是最惨的，虽然他也有一定的概率可以取胜。

但如果三个人一起开始，结果是否会有变化呢？

01

如果三人同时开枪，并且每人只发一枪，第一轮枪战后，谁活下来的机会大一些？

普遍的看法是：

甲的枪法好，活下来的可能性最大。

但真正合乎逻辑的结论是：

枪法最糟糕的丙活下来的几率最大。

三个火枪手在开枪时，都面临开枪打其他两个人的哪一个对自己最有利的判断。

也就是说，每个人都必须要有开枪策略，而不是临时随机的开枪。

三个人的最优策略是怎样？

枪手甲：最优策略是先打乙。

因为乙对甲的威胁要比丙对甲的威胁更大。

枪手乙：最优策略是先打甲。

乙一旦将甲干掉，乙和丙将进行最后的对决，此时乙胜算的概率达到最大。

枪手丙：最优策略是先对甲开枪。

因为乙的枪法毕竟比甲差。

如果甲被干掉，丙再与乙进行对决，丙的存活概率也达到最大。

用数学精确计算三个火枪手的存活几率：

甲：24％（被乙、丙合射40％ X 60％ = 24％）

乙：20％（被甲射100％ - 80％ = 20％）

丙：100％（无人射丙）

结论是不是很奇妙?

丙没有任何危险，乙率先出局的可能性最大。

甲也相当危险。

举例：

南宋时期，蒙古军事实力最强，金国次强，南宋武力最弱，且三国之间均为世仇。

按照最优策略，南宋应该与金国摒弃前嫌，结为盟友，共同抵抗蒙古。

南宋选择与蒙古结盟。

结局是蒙古仅用2年灭金，46年后，蒙古灭南宋，统一中国，建立元朝。

如果南宋按照最优策略，首先与金联盟，虽然金还是有最大的概率率先灭亡，但蒙古也会元气大伤。

南宋在这段时间里，休养生息，苦练内功，很有可能实力超过实力严重受损的蒙古，成为最后的胜利者。

南宋执政者还是短视了。

再举例：

在俄乌冲突中，三方实力如下：

甲：欧美，最强。

乙：俄军，次强。

丙：乌军，最弱。

还有一个附加条件：

甲和乙之间不能直接动手，因为都有核武器。

甲最佳选择：

根据上面博弈论原则，如果直接参与冲突，属于第二惨。

所以甲不与乙直接冲突，更无需与丙冲突。

而是援助丙，让其实力接近乙。

乙与丙消耗，两败俱伤，甲得最大利益。

乙最佳选择：

根据博弈论原则，发生冲突，属于最惨的一方。

所以乙不能选择与甲或丙发生冲突，除非有绝对碾压丙的实力。

如果第一枪未能放倒丙，丙会选择与甲紧紧抱团，进入消耗战。

长期消耗战，最有利于甲，乙先被消耗殆尽，丙随后。

此时，乙应该要选择找到盟友，让自己实力大幅提升，与甲对等，远超丙。

此时乙对丙一战而溃之，最终与甲形成平衡。

丙最佳选择：

不打甲或乙，选择与乙和平共处，暗中与甲联盟，不断提升自己实力。

这也是不断消耗甲与乙的过程。

等待自己实力与甲或乙差不多对等后，自身安全就有保证，无需再决斗。

如果选择与甲联盟，就相当于把自己存活的希望完全寄托于甲，这是十分危险的。

02

前述中，有一个假定，就是甲乙丙三人都清楚地了解对手打枪的命中率。

但在现实中，每一方都会隐藏自己真正的实力，甚至刻意显弱。

这样就形成信息不对称，让其它方看不清真相，产生错误的判断，就有可能最终改变结果。

假如甲伪装自己，让枪手乙和丙认为甲的枪法最差。

在这种情况下，最终的幸存者一定是甲。

所以隐藏实力的对手最可怕。

假定甲乙丙三人互相不了解对手，现在用数学来揭示真相。

甲面临4种情况：

1.被乙射；

2.被丙射；

3.被乙丙射；

4.甲不被乙丙射。

以上概率均为25％。

计算3人的存活率：

甲存活率：31％。

被乙射：25％ X 40％ = 10％：

被丙射：25％ X 60％ = 15％；

被乙丙射：25％ X 40％ X 60％ = 6％。

乙存活率：23％。

被甲射：25％ X 20％ = 5％；

被甲丙射：25％X20％X60％ = 3％。

丙存活率：17％。

被乙射：25％ X 40％ = 10％；

被甲乙射：25％ X 20％ X 40％ = 2％。

由此可见，在枪手互相不知道对手命中率的信息的情况下，命中率最高的枪手甲存活的几率最大，枪法最差的丙存活的可能性最小。

所以在对决中，知己知彼非常重要，如果盲目出击，实力越差，死的越快。

同时也可以看到，即使实力最强的甲，获得最后胜利的概率也远低于失败的概率。

结论就是：即使天下武功第一，也不能轻易选择与其他人群殴。

在俄乌冲突中，三方在实力不变、战斗意志不变的情况下，无论战术如何灵活，无论武器多厉害，丙都是最惨，乙也好不到哪里去，而甲也会元气大伤。

03

好了，经过第一轮战斗，无论之前是否知道他方战斗力，现在都已经相互知道了，进入明牌。

进入第二轮决斗。

在第一轮枪战后，丙有可能面对甲，也可能面对乙，甚至同时面对甲与乙，除非第一轮中甲乙皆死。

在俄乌冲突中，甲与乙皆死是不可能发生。

所以从第二轮开始，丙就一定处于劣势，因为不论甲或乙，他们的命中率都比丙的命中率为高。

这就是丙的悲哀。

命中率最差的丙玩些花样，是有可能在第一轮枪战中暂时获胜。

但是，如果甲乙在第一轮枪战中没有双亡的话，在第二轮枪战结束后，丙的存活的几率就一定比甲或乙为低。

第二轮枪战中，甲乙丙存活的几率粗算如下：

1. 假设甲与丙对决：甲的存活率为60％，丙的存活率为20％。

2.假设乙与丙对决：乙的存活率为60％，丙的存活率为40％。

结论：实力最差的在竞争中耍弄手腕能赢一时，但最终往往不能成事。

总结一下用严谨的数学计算展示了两轮枪战后，甲乙丙三方存活的概率：

第一轮：

甲射乙，乙射甲，丙射甲。

甲的活率为24％（40％ X 60％），乙的活率为20％(100％ - 80％)，丙的活率为100％（无人射丙）。

第二轮：

情况1：

甲活乙死（24％ X 80％ = 19.2％）（实际不可能发生）

甲射丙，丙射甲，甲的活率为60％，丙的活率为20％。

情况2：

乙活甲死（20％ X 76％ = 15.2％）（实际不可能发生）

乙射丙，丙射乙，乙的活率为60％，丙的活率为40％。

情况3：

甲乙皆活（24％ X 20％ = 4.8％）

重复第一轮。

情况4：

甲乙皆死（76％ X 80％ = 60.8％）（实际不可能发生）

枪战结束。

由此可见，三方冲突如果实力不发生变化，冲突除了彼此削弱，毫无意义。

数学的最终计算结果如下：

甲的活率为12.672％。

(19.2％ X 60％) + (4.8％ X 24％) = 12.672％

乙的活率为10.08％。

(15.2％ X 60％) + (4.8％ X 20％) = 10.08％

丙的活率为75.52％

(19.2％ X 20％) + (15.2％ X 40％) + (4.8％ X 100％) + (60.8％ X 100％) = 75.52％

枪法最差的丙存活的几率依旧为最大，枪法较好的甲和乙的存活几率仍远低于丙的存活几率。

但这只是理想状态。

现实中，如果甲或乙有任何一方没了，丙也不会独存。

04

假定甲乙丙不是同时开枪，而是他们轮流开一枪。

丙的机会好于他的实力。

丙不会被第一枪干掉，并且他可能极有机会在下一轮中先开枪。

假定开枪的顺序是甲、乙、丙。

甲一枪将乙干掉后（80％的几率），就轮到丙开枪，丙有40％的几率一枪将甲干掉。

即使乙躲过甲的第一枪，轮到乙开枪，乙还是会瞄准枪法最好的甲开枪。

即使乙这一枪干掉了甲，下一轮仍然是轮到丙开枪。

如果开枪顺序是乙甲丙，结果一样，下一轮依然是丙开枪。

如果是丙先开枪，丙可以向甲先开枪，即使丙打不中甲，甲的最佳策略仍然是向乙开枪。

但是，如果丙打中了甲，下一轮可就是乙开枪打丙了。

所以丙的最佳策略是胡乱开一枪，只要丙不打中甲或者乙，在下一轮射击中他就处于有利的形势。

在博弈中能否获胜，不单纯取决于他们的实力，还有彼此之间的关系。

乙和丙实际上是一种联盟关系，先把甲干掉，至少是实力平衡，他们的生存几率都上升了。

乙和丙之中，谁更有可能背叛，谁更可能忠诚？

任何一个联盟的成员都会时刻权衡利弊，一旦背叛的好处大于忠诚的好处，联盟就会破裂。

在乙和丙的联盟中，乙是最忠诚的。

这不是因为乙本身具有更加忠诚的品质，而是利益关系使然。

只要甲不死，乙的枪口就一定会瞄准甲。

但丙就不是这样了，丙不瞄准甲而胡乱开一枪显然违背了联盟关系，丙这样做的结果，将使乙处于更危险的境地。

合作才能对抗强敌。

只有乙丙合作，才能把甲先干掉，或至少平衡。

如果乙与丙不和，乙或丙单独对甲都不占优，必然被甲先后解决。

现实中，乙试图拉拢丙，隔离开甲。

但丙选择与甲联盟，激烈对抗乙。

如此，丙最危险。

即使乙败走，下一步，甲就会奴役丙。

不相信?

看看三国。

初始，曹操势力最强，孙权次之，刘备最弱。

为了抵抗强大的曹操，孙刘两家只有联合起来，准备赤壁之战。

在赤壁之战中，孙权出力最多，刘备实际上没出多少力，但刘备通过这场胜利获得了发展。

三方实力逐渐平衡，曹操因此休战10年。

之后，刘备与孙权彼此不团结，只顾自己的利益，甚至对战。

没多久，刘备的蜀国就被曹操的魏国所奴役和吞并。

又不久，孙权的吴国也落得同样的下场。

而在俄乌冲突中，唯有各方平衡是最佳选择。

至于实力最差的丙，不懂得平衡的道理，或为棋子，或喧嚣一时，泯然众人矣。

共勉。

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