三個火槍手的博弈

在博弈論裡，有一個”三個火槍手”的邏輯推理題。

有3個火槍手甲、乙、丙，彼此十分痛恨，準備決鬥。

甲槍法最好，命中機率80%。

乙槍法次之，命中機率60%。

丙槍法最差，命中機率40%。

很顯然，甲實力最強，乙次之，丙最弱。

如果是一對一決鬥，丙無疑是最慘的，雖然他也有一定的機率可以取勝。

但如果三個人一起開始，結果是否會有變化呢？

01

如果三人同時開槍，并且每人隻發一槍，第一輪槍戰後，誰活下來的機會大一些？

普遍的看法是：

甲的槍法好，活下來的可能性最大。

但真正合乎邏輯的結論是：

槍法最糟糕的丙活下來的幾率最大。

三個火槍手在開槍時，都面臨開槍打其他兩個人的哪一個對自己最有利的判斷。

也就是說，每個人都必須要有開槍政策，而不是臨時随機的開槍。

三個人的最優政策是怎樣？

槍手甲：最優政策是先打乙。

因為乙對甲的威脅要比丙對甲的威脅更大。

槍手乙：最優政策是先打甲。

乙一旦将甲幹掉，乙和丙将進行最後的對決，此時乙勝算的機率達到最大。

槍手丙：最優政策是先對甲開槍。

因為乙的槍法畢竟比甲差。

如果甲被幹掉，丙再與乙進行對決，丙的存活機率也達到最大。

用數學精确計算三個火槍手的存活幾率：

甲：24％（被乙、丙合射40％ X 60％ = 24％）

乙：20％（被甲射100％ - 80％ = 20％）

丙：100％（無人射丙）

結論是不是很奇妙?

丙沒有任何危險，乙率先出局的可能性最大。

甲也相當危險。

舉例：

南宋時期，蒙古軍事實力最強，金國次強，南宋武力最弱，且三國之間均為世仇。

按照最優政策，南宋應該與金國摒棄前嫌，結為盟友，共同抵抗蒙古。

南宋選擇與蒙古結盟。

結局是蒙古僅用2年滅金，46年後，蒙古滅南宋，統一中國，建立元朝。

如果南宋按照最優政策，首先與金聯盟，雖然金還是有最大的機率率先滅亡，但蒙古也會元氣大傷。

南宋在這段時間裡，休養生息，苦練内功，很有可能實力超過實力嚴重受損的蒙古，成為最後的勝利者。

南宋執政者還是短視了。

再舉例：

在俄烏沖突中，三方實力如下：

甲：歐美，最強。

乙：俄軍，次強。

丙：烏軍，最弱。

還有一個附加條件：

甲和乙之間不能直接動手，因為都有核武器。

甲最佳選擇：

根據上面博弈論原則，如果直接參與沖突，屬于第二慘。

是以甲不與乙直接沖突，更無需與丙沖突。

而是援助丙，讓其實力接近乙。

乙與丙消耗，兩敗俱傷，甲得最大利益。

乙最佳選擇：

根據博弈論原則，發生沖突，屬于最慘的一方。

是以乙不能選擇與甲或丙發生沖突，除非有絕對碾壓丙的實力。

如果第一槍未能放倒丙，丙會選擇與甲緊緊抱團，進入消耗戰。

長期消耗戰，最有利于甲，乙先被消耗殆盡，丙随後。

此時，乙應該要選擇找到盟友，讓自己實力大幅提升，與甲對等，遠超丙。

此時乙對丙一戰而潰之，最終與甲形成平衡。

丙最佳選擇：

不打甲或乙，選擇與乙和平共處，暗中與甲聯盟，不斷提升自己實力。

這也是不斷消耗甲與乙的過程。

等待自己實力與甲或乙差不多對等後，自身安全就有保證，無需再決鬥。

如果選擇與甲聯盟，就相當于把自己存活的希望完全寄托于甲，這是十分危險的。

02

前述中，有一個假定，就是甲乙丙三人都清楚地了解對手打槍的命中率。

但在現實中，每一方都會隐藏自己真正的實力，甚至刻意顯弱。

這樣就形成資訊不對稱，讓其它方看不清真相，産生錯誤的判斷，就有可能最終改變結果。

假如甲僞裝自己，讓槍手乙和丙認為甲的槍法最差。

在這種情況下，最終的幸存者一定是甲。

是以隐藏實力的對手最可怕。

假定甲乙丙三人互相不了解對手，現在用數學來揭示真相。

甲面臨4種情況：

1.被乙射；

2.被丙射；

3.被乙丙射；

4.甲不被乙丙射。

以上機率均為25％。

計算3人的存活率：

甲存活率：31％。

被乙射：25％ X 40％ = 10％：

被丙射：25％ X 60％ = 15％；

被乙丙射：25％ X 40％ X 60％ = 6％。

乙存活率：23％。

被甲射：25％ X 20％ = 5％；

被甲丙射：25％X20％X60％ = 3％。

丙存活率：17％。

被乙射：25％ X 40％ = 10％；

被甲乙射：25％ X 20％ X 40％ = 2％。

由此可見，在槍手互相不知道對手命中率的資訊的情況下，命中率最高的槍手甲存活的幾率最大，槍法最差的丙存活的可能性最小。

是以在對決中，知己知彼非常重要，如果盲目出擊，實力越差，死的越快。

同時也可以看到，即使實力最強的甲，獲得最後勝利的機率也遠低于失敗的機率。

結論就是：即使天下武功第一，也不能輕易選擇與其他人群毆。

在俄烏沖突中，三方在實力不變、戰鬥意志不變的情況下，無論戰術如何靈活，無論武器多厲害，丙都是最慘，乙也好不到哪裡去，而甲也會元氣大傷。

03

好了，經過第一輪戰鬥，無論之前是否知道他方戰鬥力，現在都已經互相知道了，進入明牌。

進入第二輪決鬥。

在第一輪槍戰後，丙有可能面對甲，也可能面對乙，甚至同時面對甲與乙，除非第一輪中甲乙皆死。

在俄烏沖突中，甲與乙皆死是不可能發生。

是以從第二輪開始，丙就一定處于劣勢，因為不論甲或乙，他們的命中率都比丙的命中率為高。

這就是丙的悲哀。

命中率最差的丙玩些花樣，是有可能在第一輪槍戰中暫時獲勝。

但是，如果甲乙在第一輪槍戰中沒有雙亡的話，在第二輪槍戰結束後，丙的存活的幾率就一定比甲或乙為低。

第二輪槍戰中，甲乙丙存活的幾率粗算如下：

1. 假設甲與丙對決：甲的存活率為60％，丙的存活率為20％。

2.假設乙與丙對決：乙的存活率為60％，丙的存活率為40％。

結論：實力最差的在競争中耍弄手腕能赢一時，但最終往往不能成事。

總結一下用嚴謹的數學計算展示了兩輪槍戰後，甲乙丙三方存活的機率：

第一輪：

甲射乙，乙射甲，丙射甲。

甲的活率為24％（40％ X 60％），乙的活率為20％(100％ - 80％)，丙的活率為100％（無人射丙）。

第二輪：

情況1：

甲活乙死（24％ X 80％ = 19.2％）（實際不可能發生）

甲射丙，丙射甲，甲的活率為60％，丙的活率為20％。

情況2：

乙活甲死（20％ X 76％ = 15.2％）（實際不可能發生）

乙射丙，丙射乙，乙的活率為60％，丙的活率為40％。

情況3：

甲乙皆活（24％ X 20％ = 4.8％）

重複第一輪。

情況4：

甲乙皆死（76％ X 80％ = 60.8％）（實際不可能發生）

槍戰結束。

由此可見，三方沖突如果實力不發生變化，沖突除了彼此削弱，毫無意義。

數學的最終計算結果如下：

甲的活率為12.672％。

(19.2％ X 60％) + (4.8％ X 24％) = 12.672％

乙的活率為10.08％。

(15.2％ X 60％) + (4.8％ X 20％) = 10.08％

丙的活率為75.52％

(19.2％ X 20％) + (15.2％ X 40％) + (4.8％ X 100％) + (60.8％ X 100％) = 75.52％

槍法最差的丙存活的幾率依舊為最大，槍法較好的甲和乙的存活幾率仍遠低于丙的存活幾率。

但這隻是理想狀态。

現實中，如果甲或乙有任何一方沒了，丙也不會獨存。

04

假定甲乙丙不是同時開槍，而是他們輪流開一槍。

丙的機會好于他的實力。

丙不會被第一槍幹掉，并且他可能極有機會在下一輪中先開槍。

假定開槍的順序是甲、乙、丙。

甲一槍将乙幹掉後（80％的幾率），就輪到丙開槍，丙有40％的幾率一槍将甲幹掉。

即使乙躲過甲的第一槍，輪到乙開槍，乙還是會瞄準槍法最好的甲開槍。

即使乙這一槍幹掉了甲，下一輪仍然是輪到丙開槍。

如果開槍順序是乙甲丙，結果一樣，下一輪依然是丙開槍。

如果是丙先開槍，丙可以向甲先開槍，即使丙打不中甲，甲的最佳政策仍然是向乙開槍。

但是，如果丙打中了甲，下一輪可就是乙開槍打丙了。

是以丙的最佳政策是胡亂開一槍，隻要丙不打中甲或者乙，在下一輪射擊中他就處于有利的形勢。

在博弈中能否獲勝，不單純取決于他們的實力，還有彼此之間的關系。

乙和丙實際上是一種聯盟關系，先把甲幹掉，至少是實力平衡，他們的生存幾率都上升了。

乙和丙之中，誰更有可能背叛，誰更可能忠誠？

任何一個聯盟的成員都會時刻權衡利弊，一旦背叛的好處大于忠誠的好處，聯盟就會破裂。

在乙和丙的聯盟中，乙是最忠誠的。

這不是因為乙本身具有更加忠誠的品質，而是利益關系使然。

隻要甲不死，乙的槍口就一定會瞄準甲。

但丙就不是這樣了，丙不瞄準甲而胡亂開一槍顯然違背了聯盟關系，丙這樣做的結果，将使乙處于更危險的境地。

合作才能對抗強敵。

隻有乙丙合作，才能把甲先幹掉，或至少平衡。

如果乙與丙不和，乙或丙單獨對甲都不占優，必然被甲先後解決。

現實中，乙試圖拉攏丙，隔離開甲。

但丙選擇與甲聯盟，激烈對抗乙。

如此，丙最危險。

即使乙敗走，下一步，甲就會奴役丙。

不相信?

看看三國。

初始，曹操勢力最強，孫權次之，劉備最弱。

為了抵抗強大的曹操，孫劉兩家隻有聯合起來，準備赤壁之戰。

在赤壁之戰中，孫權出力最多，劉備實際上沒出多少力，但劉備通過這場勝利獲得了發展。

三方實力逐漸平衡，曹操是以休戰10年。

之後，劉備與孫權彼此不團結，隻顧自己的利益，甚至對戰。

沒多久，劉備的蜀國就被曹操的魏國所奴役和吞并。

又不久，孫權的吳國也落得同樣的下場。

而在俄烏沖突中，唯有各方平衡是最佳選擇。

至于實力最差的丙，不懂得平衡的道理，或為棋子，或喧嚣一時，泯然衆人矣。

共勉。

侵 删