51nod 1134 最長遞增子序列（LIS優化）

題目：給出長度為N的數組，找出這個數組的最長遞增子序列。(遞增子序列是指，子序列的元素是遞增的）

例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最長遞增子序列是1 2 4 5 10。

Input

第1行：1個數N，N為序列的長度(2 <= N <= 50000)

第2 - N + 1行：每行1個數，對應序列的元素(-10^9 <= S[i] <= 10^9)

Output

輸出最長遞增子序列的長度。

Input示例

8
5
1
6
8
2
4
5
10
           

Output示例

5
           

LIS模闆套的代碼（時間超限，時間複雜度 n^2）：

#include<iostream>
using namespace std;

#define maxn 50000
int a[maxn]; 

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int dp[maxn];
    for(int i = ; i <= n; i++)
     cin >> a[i];
    int ans = ;
    for(int i = ; i <= n; i++){
      dp[i] = ;
      for(int j = ; j <= i; j++){
        if(a[i] > a[j])
        dp[i] = max(dp[i] , dp[j] + );
      }
      ans = max (ans , dp[i]);
    }
    cout << ans << endl; 
    return ;
} 
           

LIS優化代碼：

這個思路是，把最長遞增子序列存在dp數組中，有一個大于這個數組最後一個元素的數，直接存放在這個數組後面，如果遇到一個小的數字，就把dp數組中第一個比它大的數字替換掉，這樣得到的最長遞增子序列是最長的且和為最小的子序列（十分精妙的思路）。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define maxn 50000
int a[maxn]; 

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int dp[maxn];
    for(int i = ; i <= n; i++)
     cin >> a[i];
    int ans = ;
    int len = ;
    dp[len] = a[];
    for(int i = ; i <= n; i++){
        if(a[i] > dp[len]) dp[++len]  = a[i];
        else{
            int pos = lower_bound(dp+ , dp+len , a[i])-dp;
                             //lower_bound（）函數是查找dp[]中第一個大于a[i]的數并傳回這個數的下标。
                             //這個數組可以手動寫出成函數封裝起來
            dp[pos] = a[i];
        }
    }
    cout << len << endl;
    return ;
}