貝葉斯先驗機率和後驗機率

前言：

貝葉斯公式究竟是什麼意思，在現實中的含義是什麼，什麼是先驗機率，什麼是後驗機率？

問題：

如下圖所示：在一個群體中，有20個人。感冒5人，流感6人，腦膜炎4人，腦癱3人，正常2人。

以B為例，解釋一下。B表示感冒，感冒人數是5人，其中2人頭疼。

現在問題是：當一個人頭疼，判斷這個人是感冒的機率？

解答：

1：（ABCDEF都表示事件），A表示頭疼，B是感冒，C表示流感，D表示腦膜炎，E表示腦癱，F是正常

2：是以，我們的問題就是求解  

,由貝葉斯定理我們知道：

        其中：

表示在事件A發生的情況下，事件B發生的機率。

3：一個人頭疼肯定是由上述5中情況導緻的，是以由全機率公式，我們知道：

      即：

4：從上面的圖可以統計出來      

，

，

，

，

       以

為例，它表示在感冒時頭疼的機率，共5人感冒，2人頭疼，則

，

，

，

，

，

，

，

• 則

  

       其中，P(A)還有一個算法，就是用（總的頭疼人數）除以（總的人數），同樣也是0.5

5：

，是以我們知道當一個人頭疼的時候，這個人感冒的機率是0.2

   同樣的方式計算

，

，

，

   是以，當一個人頭疼時，他感冒的機率是0.2，流感的機率是0.4，腦膜炎的機率是0.3，腦癱的機率是0.1，正常的機率是      0，就是說隻有這個人頭疼，他就不可能是正常人，一定是患病的，這很好解釋，因為正常人不會頭疼。

總結：

通過這個例子可以發現，當我們要解答“一個人頭疼，那麼他感冒的機率是多少，即P（B|A）”這個問題的時候，可以轉換成求解：

1：整個人群中頭疼的機率P(A)；

2：這個人群中“如果一個人感冒，那麼他頭疼的機率P(A|B)”

3：這個人群中感冒的人的機率P(B)。

這個場景可以出現在醫院，有一個人頭疼，就問醫生，他可能是感冒的可能性是多少。醫生當然是根據他的醫學知識來判斷，可能感冒了，可能發燒了。但是如果一個普通人想解決這個問題，他就會收集上述3個方面的資料，我們發現，這3個資料都是很好統計的，這樣就可以把一個專業性的問題變成一個統計性的問題。也就是将後驗機率，變成先驗機率。

後驗機率就是說：在A發生的情況下，B發生的機率，先驗機率就是一個統計的問題，這個人群中，20個人有5個感冒，就知道，感冒的機率是0.25。

當然有人會說你相當于把求解P(B|A)轉成了求解P(A|B)，但是這個形式好像還是後驗機率的形式，我的了解是，針對上述問題來說，P(A|B)好求，但是P(B|A)很難求。不信你試試看，P(A|B)就是在感冒的人群中，頭疼的人的機率。我們隻需要統計感冒人數和感冒人數中頭疼的人數，很簡單。