對偶空間和對偶基

作者：Hua Xiao

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“對偶空間”是“線性空間”，它裡面的元素是“線性映射”。

僅僅是這句話就足以讓許多人一頭霧水了。為了了解它，我們先說說“集合”：所有的“線性空間”都是“集合”，然而“集合”未必都是“線性空間”。比如{帽子，足球，魚香肉絲}這樣的集合就很可能不是線性空間。那麼問題來了——

什麼樣的集合，才可以被稱作是線性空間呢？

答：如果某集合對加法和數乘封閉，也就是說：

（1） 任意一個元素 加上 任意一個元素 結果仍然在集合裡；

（2） 任意一個數 乘以 任意一個元素 結果仍然在集合裡。

那這個集合就是一個線性空間。

比如，{0}這個集合隻有一個元素，而且——

（1） 0 加上0，結果是0，在集合内；

（2） 任何數 乘以 0，結果是0，也在集合内。

是以{0}是一個線性空間。

而{0,1,2}這個集合，就不是一個線性空間。因為1加上2，結果是3, 而3卻不在集合内。

如果你能夠在{0,1,2}這個集合上，自己定義一種特殊的“加法”和“數乘”，在——滿足交換律、結合律、乘法配置設定律，具備加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下，還能使得{0,1,2}中所有的元素滿足對加法和數乘封閉的條件，那麼{0,1,2}就可以被看做是線性空間。當然，你也看出來了，這非常的困難。事實上，線性空間是極其特殊的集合。

我們已經搭好了“線性空間”的概念，它就像遊戲的場景，有了它我們才可以盡情的玩耍。下面來看一個更有意思的東西——線性映射。

我們繼續用{0}這個最簡單的線性空間，

然後給出一個線性映射——把{0}中的所有元素（也就是0啦）乘以1：

然後又給出一個線性映射——把{0}中的所有元素乘以2：

然後又雙叒叕給出一個線性映射——把{0}中的所有元素乘以3：

……

我們很快就發現，{0}這個線性空間上的線性映射竟然有無窮多個！如果我們這無窮多個映射放在一個集合裡：{線性映射一，線性映射二，線性映射三…… }，那麼，這個由“線性映射”構成的集合，是否也是一個線性空間？

答案竟然是yes！而且它就是{0}的對偶空間！

等一下——

如果這個集合是個線性空間，那麼根據上文，它必須對加法和數乘封閉。可是數字之間相加，比如1+2，很好了解，線性映射也能相加嗎？怎麼加，結果是什麼？

注意，上文中提到：

……你能自己定義一種特别的“加法”和“數乘”，在——滿足交換律、結合律、乘法配置設定律，具備加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……

也就是說，我們可以線上性映射的集合上定義 “線性映射的加法”！隻要能滿足那些要求就可以了！

下面用個例子來描述一下“線性映射之間的加法”：

線性映射二：x

2x ， 線性映射三：x

3x，那麼：

線性映射二 加上 線性映射三等于 一個新的線性映射：x

2x+3x

不難發現，這個定義是滿足加法的那一票要求的。有了加法的定義，我們乘勝追擊，再用個例子來描述一個數和線性映射相乘，

線性映射一：x

x ， 那麼：

3 乘以 線性映射一等于 一個新的線性映射：x

3x

然後就可以發現，{0}上的所有線性映射的集合：{線性映射一，線性映射二，線性映射三…… }

對加法和數乘封閉，也就是說，它也是一個線性空間，于是我們把它叫做{0}的對偶空間。

再回頭看看本回答的第一句話：“對偶空間”是“線性空間”，它裡面的元素是“線性映射”，這句話裡其實還隐含了一個資訊：我們在對偶空間裡，定義了線性映射的加法以及數乘。

最後，更準确的說，對偶空間裡的元素是“線性泛函”（linear functional），這是一種特殊的線性映射。

對偶空間

的想法本身是很自然的，就是

的線性空間

上全體線性函數組成的（在通常的函數加和乘下）線性空間。這個空間其實就是全體

的矩陣而已。那麼自然的，對偶空間就是一個

維的線性空間。注意在

的一組基

下，我們給出的任意一個指派

都唯一地确定了一個線性函數

。那麼自然地誘導出

的一組基

，這就稱作

的對偶基（互相對偶）。

作者：陸葳蕤

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