作者：Hua Xiao
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“對偶空間”是“線性空間”，它裡面的元素是“線性映射”。
僅僅是這句話就足以讓許多人一頭霧水了。為了了解它，我們先說說“集合”：所有的“線性空間”都是“集合”，然而“集合”未必都是“線性空間”。比如{帽子，足球，魚香肉絲}這樣的集合就很可能不是線性空間。那麼問題來了——
什麼樣的集合，才可以被稱作是線性空間呢？
答：如果某集合對加法和數乘封閉，也就是說：
（1） 任意一個元素 加上 任意一個元素 結果仍然在集合裡；
（2） 任意一個數 乘以 任意一個元素 結果仍然在集合裡。
那這個集合就是一個線性空間。
比如，{0}這個集合隻有一個元素，而且——
（1） 0 加上0，結果是0，在集合内；
（2） 任何數 乘以 0，結果是0，也在集合内。
是以{0}是一個線性空間。
而{0,1,2}這個集合，就不是一個線性空間。因為1加上2，結果是3, 而3卻不在集合内。
如果你能夠在{0,1,2}這個集合上，自己定義一種特殊的“加法”和“數乘”，在——滿足交換律、結合律、乘法配置設定律，具備加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下，還能使得{0,1,2}中所有的元素滿足對加法和數乘封閉的條件，那麼{0,1,2}就可以被看做是線性空間。當然，你也看出來了，這非常的困難。事實上，線性空間是極其特殊的集合。
我們已經搭好了“線性空間”的概念，它就像遊戲的場景，有了它我們才可以盡情的玩耍。下面來看一個更有意思的東西——線性映射。
我們繼續用{0}這個最簡單的線性空間，
然後給出一個線性映射——把{0}中的所有元素（也就是0啦）乘以1：
然後又給出一個線性映射——把{0}中的所有元素乘以2：
然後又雙叒叕給出一個線性映射——把{0}中的所有元素乘以3：
……
我們很快就發現，{0}這個線性空間上的線性映射竟然有無窮多個！如果我們這無窮多個映射放在一個集合裡：{線性映射一，線性映射二，線性映射三…… }，那麼，這個由“線性映射”構成的集合，是否也是一個線性空間？
答案竟然是yes！而且它就是{0}的對偶空間！
等一下——
如果這個集合是個線性空間，那麼根據上文，它必須對加法和數乘封閉。可是數字之間相加，比如1+2，很好了解，線性映射也能相加嗎？怎麼加，結果是什麼？
注意，上文中提到：
……你能自己定義一種特别的“加法”和“數乘”，在——滿足交換律、結合律、乘法配置設定律，具備加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……
也就是說，我們可以線上性映射的集合上定義 “線性映射的加法”！隻要能滿足那些要求就可以了！
下面用個例子來描述一下“線性映射之間的加法”：
線性映射二：x2x ， 線性映射三：x對偶空間和對偶基 對偶空間和對偶基 3x，那麼：
線性映射二 加上 線性映射三等于 一個新的線性映射：x
2x+3x對偶空間和對偶基
不難發現，這個定義是滿足加法的那一票要求的。有了加法的定義，我們乘勝追擊，再用個例子來描述一個數和線性映射相乘，
線性映射一：x對偶空間和對偶基 x ， 那麼：
3 乘以 線性映射一等于 一個新的線性映射：x
3x對偶空間和對偶基
然後就可以發現，{0}上的所有線性映射的集合：{線性映射一，線性映射二，線性映射三…… }
對加法和數乘封閉，也就是說，它也是一個線性空間，于是我們把它叫做{0}的對偶空間。
再回頭看看本回答的第一句話：“對偶空間”是“線性空間”，它裡面的元素是“線性映射”，這句話裡其實還隐含了一個資訊：我們在對偶空間裡，定義了線性映射的加法以及數乘。
最後，更準确的說，對偶空間裡的元素是“線性泛函”（linear functional），這是一種特殊的線性映射。
對偶空間
的想法本身是很自然的，就是
的線性空間
上全體線性函數組成的（在通常的函數加和乘下）線性空間。這個空間其實就是全體
的矩陣而已。那麼自然的，對偶空間就是一個
維的線性空間。注意在
的一組基
下，我們給出的任意一個指派
都唯一地确定了一個線性函數
。那麼自然地誘導出
的一組基
，這就稱作
的對偶基（互相對偶）。
作者：陸葳蕤
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