对偶空间和对偶基

作者：Hua Xiao

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“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”。

仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它，我们先说说“集合”：所有的“线性空间”都是“集合”，然而“集合”未必都是“线性空间”。比如{帽子，足球，鱼香肉丝}这样的集合就很可能不是线性空间。那么问题来了——

什么样的集合，才可以被称作是线性空间呢？

答：如果某集合对加法和数乘封闭，也就是说：

（1） 任意一个元素 加上 任意一个元素 结果仍然在集合里；

（2） 任意一个数 乘以 任意一个元素 结果仍然在集合里。

那这个集合就是一个线性空间。

比如，{0}这个集合只有一个元素，而且——

（1） 0 加上0，结果是0，在集合内；

（2） 任何数 乘以 0，结果是0，也在集合内。

所以{0}是一个线性空间。

而{0,1,2}这个集合，就不是一个线性空间。因为1加上2，结果是3, 而3却不在集合内。

如果你能够在{0,1,2}这个集合上，自己定义一种特殊的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下，还能使得{0,1,2}中所有的元素满足对加法和数乘封闭的条件，那么{0,1,2}就可以被看做是线性空间。当然，你也看出来了，这非常的困难。事实上，线性空间是极其特殊的集合。

我们已经搭好了“线性空间”的概念，它就像游戏的场景，有了它我们才可以尽情的玩耍。下面来看一个更有意思的东西——线性映射。

我们继续用{0}这个最简单的线性空间，

然后给出一个线性映射——把{0}中的所有元素（也就是0啦）乘以1：

然后又给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以2：

然后又双叒叕给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以3：

……

我们很快就发现，{0}这个线性空间上的线性映射竟然有无穷多个！如果我们这无穷多个映射放在一个集合里：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }，那么，这个由“线性映射”构成的集合，是否也是一个线性空间？

答案竟然是yes！而且它就是{0}的对偶空间！

等一下——

如果这个集合是个线性空间，那么根据上文，它必须对加法和数乘封闭。可是数字之间相加，比如1+2，很好理解，线性映射也能相加吗？怎么加，结果是什么？

注意，上文中提到：

……你能自己定义一种特别的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……

也就是说，我们可以在线性映射的集合上定义 “线性映射的加法”！只要能满足那些要求就可以了！

下面用个例子来描述一下“线性映射之间的加法”：

线性映射二：x

2x ， 线性映射三：x

3x，那么：

线性映射二 加上 线性映射三等于 一个新的线性映射：x

2x+3x

不难发现，这个定义是满足加法的那一票要求的。有了加法的定义，我们乘胜追击，再用个例子来描述一个数和线性映射相乘，

线性映射一：x

x ， 那么：

3 乘以 线性映射一等于 一个新的线性映射：x

3x

然后就可以发现，{0}上的所有线性映射的集合：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }

对加法和数乘封闭，也就是说，它也是一个线性空间，于是我们把它叫做{0}的对偶空间。

再回头看看本回答的第一句话：“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”，这句话里其实还隐含了一个信息：我们在对偶空间里，定义了线性映射的加法以及数乘。

最后，更准确的说，对偶空间里的元素是“线性泛函”（linear functional），这是一种特殊的线性映射。

对偶空间

的想法本身是很自然的，就是

的线性空间

上全体线性函数组成的（在通常的函数加和乘下）线性空间。这个空间其实就是全体

的矩阵而已。那么自然的，对偶空间就是一个

维的线性空间。注意在

的一组基

下，我们给出的任意一个赋值

都唯一地确定了一个线性函数

。那么自然地诱导出

的一组基

，这就称作

的对偶基（互相对偶）。

作者：陆葳蕤

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