wikioi-天梯-提高一等-背包dp-1068：烏龜棋

題目描述 Description

小明過生日的時候，爸爸送給他一副烏龜棋當作禮物。 烏龜棋的棋盤是一行N個格子，每個格子上一個分數（非負整數）。棋盤第1格是唯一 的起點，第N格是終點，遊戲要求玩家控制一個烏龜棋子從起點出發走到終點。

…… 1 2 3 4 5 ……N 烏龜棋中M張爬行卡片，分成4種不同的類型（M張卡片中不一定包含所有4種類型 的卡片，見樣例），每種類型的卡片上分别标有1、2、3、4四個數字之一，表示使用這種卡 片後，烏龜棋子将向前爬行相應的格子數。遊戲中，玩家每次需要從所有的爬行卡片中選擇 一張之前沒有使用過的爬行卡片，控制烏龜棋子前進相應的格子數，每張卡片隻能使用一次。 遊戲中，烏龜棋子自動獲得起點格子的分數，并且在後續的爬行中每到達一個格子，就得到 該格子相應的分數。玩家最終遊戲得分就是烏龜棋子從起點到終點過程中到過的所有格子的 分數總和。 很明顯，用不同的爬行卡片使用順序會使得最終遊戲的得分不同，小明想要找到一種卡 片使用順序使得最終遊戲得分最多。 現在，告訴你棋盤上每個格子的分數和所有的爬行卡片，你能告訴小明，他最多能得到 多少分嗎？

輸入描述 Input Description

輸入的每行中兩個數之間用一個空格隔開。 第1行2個正整數N和M，分别表示棋盤格子數和爬行卡片數。 第2行N個非負整數，a1a2……aN

，其中ai表示棋盤第i個格子上的分數。 第3行M個整數，b1b2……bM

，表示M張爬行卡片上的數字。 輸入資料保證到達終點時剛好用光M張爬行卡片，即N - 1=∑(1->M) bi

輸出描述 Output Description

輸出一行一個整數

樣例輸入 Sample Input

13 8

4 96 10 64 55 13 94 53 5 24 89 8 30

1 1 1 1 1 2 4 1

樣例輸出 Sample Output

455

資料範圍及提示 Data Size & Hint

【資料範圍】

對于30%的資料有1 ≤ N≤ 30，1 ≤M≤ 12。

對于50%的資料有1 ≤ N≤ 120，1 ≤M≤ 50，且4 種爬行卡片，每種卡片的張數不會超

過20。

~

對于100%的資料有1 ≤ N≤ 350，1 ≤M≤ 120，且4 種爬行卡片，每種卡片的張數不會

超過40；0 ≤ ai ≤ 100，1 ≤ i ≤ N；1 ≤ bi ≤ 4，1 ≤ i ≤M。輸入資料保證N−1=Σi b

類型：dp  難度：2

題意：一條路長為N，給N個數，表示路上每格的分數。要從第1格走到第N格，給M個卡片，卡片上的數字和為N-1，每次從卡片中拿一張，走相應的步數，隻能往前走，卡片的值為1-4，走到相應的格子時獲得相應的分數，問按照什麼順序走，擷取的分數最高。

分析：稍微有點繞的dp。本來考慮用dp[i]表示走i步所獲得的的最高分數，但是發現結果不對，細想發現dp[i]無法表示一個狀态，比如有三張卡片1,1,2，那麼dp[2]既能表示走了一個2，也能表示走了兩個1，而且這兩種走法擷取的分數不同，是以光靠步數不足以表示一個狀态，還需要記錄目前能使用的牌，或已經用過的牌，才能确定一個狀态。

于是，狀态變成：dp[i][a][b][c][d]，表示用a個1，b個2，c個3，d個4這些牌，走i步（還需要走的步數），所獲得的最高分（不包括目前格子的分數），設s[i]為第i個格子的分數

狀态轉移方程：dp[i][a][b][c][d] = max(dp[i-1][a-1][b][c][d]+s[i-1], dp[i-2][a][b-1][c][d]+s[i-2], dp[i-3][a][b][c-1][d]+s[i-3], dp[i-4][a][b][c][d-1]+s[i-4])

即每一步都選擇4中走法，選得分最高的那個

優化：發現數組占用記憶體過大，需要降維，發現去掉i,a,b,c,d其中一個仍然能夠計算出另一個，因為i = a+2b+3c+4d，是以可以去掉維數最大的i維，節省記憶體。

代碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int mymax(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}

short f[150],dp[40][40][40][40],s[400],n,m;

short fun(short a,short b,short c,short d)
{
    short left = a+2*b+3*c+4*d;
    if(!left) return 0;
    if(dp[a][b][c][d]>0) return dp[a][b][c][d];
    
    if(a>0)
    {
        dp[a][b][c][d]= mymax(dp[a][b][c][d],
           fun(a-1,b,c,d)+s[left-1]);
    }
    if(b>0)
    {
        dp[a][b][c][d] = mymax(dp[a][b][c][d],
           fun(a,b-1,c,d)+s[left-2]);
    }
    if(c>0)
    {
        dp[a][b][c][d] = mymax(dp[a][b][c][d],
           fun(a,b,c-1,d)+s[left-3]);
    }
    if(d>0)
    {
        dp[a][b][c][d] = mymax(dp[a][b][c][d],
           fun(a,b,c,d-1)+s[left-4]);
    }
    
    return dp[a][b][c][d];
}

int main()
{
    short cnt[4];
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    cin>>n>>m;
    for(int i=0; i<n; i++)
        cin>>s[i];
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        int t;
        cin>>t;
        cnt[t-1]++;
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    
    cout<<fun(cnt[0],cnt[1],cnt[2],cnt[3])+s[n-1]<<endl;
}