[數字圖像處理]灰階變換——反轉，對數變換，伽馬變換，灰階拉伸，灰階切割，位圖切割

            灰階變換，屬于一個非常重要的概念。這裡主要參考《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods 的第三章。書中所有的實驗與數學式都采用了8-bit 圖像的灰階範圍，也就是0到255這樣一個範圍，這是本書不合理的一個地方。首先，這樣做并不泛用，圖檔不一定是8-bit的。其次，在做某些變換的時候，可能會導緻溢出。比如，伽馬變化，假設伽馬值為2，那麼灰階為255的像素點，其變換之後值為65025，這裡就溢出了。當然，要是使用Matlab計算，肯定會處理的非常好，直接使用mat2gray函數就能将其壓縮回0到255。但是要是其他嵌入式平台處理的時候，直接套用不友善不說，直接按照8-bit的圖來了解很不直覺。是以，我将數學式做了改變，讓其輸入為0到1的浮點數，其輸出也是0到1的浮點數，這樣友善了解。

      本文所使用的圖檔，均來源于《Digital Image Processing》的首頁 http://www.imageprocessingplace.com/

       圖像反轉

       圖像反轉，這個翻譯還是很不恰當的。這裡應該了解為負片變換，負片變換如下所示。

負片變換，主要用于觀察過黑的圖檔，負片變換之後，友善觀察。很簡單的變換。

       對數變換

       對數變換主要用于将圖像的低灰階值部分擴充，将其高灰階值部分壓縮，以達到強調圖像低灰階部分的目的。變換方法由下式給出。

這裡的對數變換，底數為

，實際計算的時候，需要用換底公式。其輸入為

，其輸出也為

。對于不同的底數，其對應的變換曲線如下圖所示。

底數越大，對低灰階部分的強調就越強，對高灰階部分的壓縮也就越強。相反的，如果想強調高灰階部分，則用反對數函數就可以了。看下面的實驗就可以很直覺的了解，下圖是某圖像的二維傅裡葉變換圖像，其為了使其灰階部分較為明顯，一般都會使用灰階變換處理一下。

       實作對數變換的Matlab代碼如下：

close all;
clear all;

%% -------------Log Transformations-----------------
f = imread('DFT_no_log.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);

v = 10;
g_1 = log2(1 + v*f)/log2(v+1);

v = 30;
g_2 = log2(1 + v*f)/log2(v+1);

v = 200;
g_3 = log2(1 + v*f)/log2(v+1);

figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');
subplot(1,2,2);
imshow(g_1,[0 1]);
xlabel('b).Log Transformations v=10');

figure();
subplot(1,2,1);
imshow(g_2,[0 1]);
xlabel('c).Log Transformations v=100');

subplot(1,2,2);
imshow(g_3,[0 1]);
xlabel('d).Log Transformations v=200');
           

       伽馬變換

       伽馬變換主要用于圖像的校正，将漂白的圖檔或者是過黑的圖檔，進行修正。伽馬變換也常常用于顯示屏的校正，這是一個非常常用的變換。其變化所用數學式如下所示，

其輸入為

，其輸出也為

。對于不同的伽馬值，其對應的變換曲線如下圖所示。

和對數變換一樣，伽馬變換可以強調圖像的某個部分。根據下面兩個實驗，可以看出伽馬變換的作用。        實驗1：

其實作Matlab代碼為：

close all;
clear all;

%% -------------Gamma Transformations-----------------
f = imread('fractured_spine.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);

C = 1;
Gamma = 0.4;
g2 = C*(f.^Gamma);

figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');

subplot(1,2,2);
imshow(g2,[0 1]);
xlabel('b).Gamma Transformations \gamma = 0.4');
           

       實驗2：

       灰階拉伸

       灰階拉伸也用于強調圖像的某個部分，與伽馬變換與對數變換不同的是，灰階拉升可以改善圖像的動态範圍。可以将原來低對比度的圖像拉伸為高對比度圖像。實作灰階拉升的方法很多，其中最簡單的一種就是線性拉伸。而這裡介紹的方法稍微複雜一些。灰階拉伸所用數學式如下所示。

同樣的，其輸入為

，其輸出也為

。這個式子再熟悉不過了，跟巴特沃斯高通濾波器像極了，其輸入輸出關系也大緻能猜到是個什麼形狀的。但是，這裡就出現一個問題了，輸入為0時候，式子無意義了。是以，在用Matlab計算的時候，将其變為如下形式。

這裡的eps，就是Matlab裡面，一個很小數。如此做的話，式子變得有意義了。但是，其輸入範圍為

的時候，其輸出範圍變為了

。輸出範圍大緻為

，為了精确起見，使用mat2gray函數将其擴充到精确的

。調用格式如下。

g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);
           

       輸入輸出問題解決了，還有一個問題，參數的決定。這裡有兩個參數，一個是m（相對于巴特沃斯高通濾波器而言，這個是截止頻率），一個是E（相對于 巴特沃斯高通濾波器而言，這個是濾波器次數）。m可以控制變換曲線的重心，E則可以控制曲線的斜率，如下圖所示。

m值的可取圖像灰階分布的中央值，如下式所示，

       決定m之後，接下來就隻剩E了。灰階拉升的目的就是擴充圖檔的動态範圍，我們想将原本灰階範圍是

的圖像變換到

内。那麼，就直接取最大值與最小值，帶入式子，解出E就可以了。但是，如之前所說的，我們所用的式子的的輸出範圍達不到

，而且，直接取

的範圍，會造成E非常大，進而變換曲線的斜率非常大，灰階擴充的結果并不是很好。是以，這裡退一步，取的輸出範圍是

。E的取值，如下所示。

       實驗：

       從直方圖看，原圖的灰階範圍确實被拉伸了。用上面所說的方法，确定的灰階拉伸的輸入輸出曲線如下圖所示。

      其Matlab代碼如下：

close all;
clear all;

%% -------------Contrast Stretching-----------------
f = imread('washed_out_pollen_image.tif');
%f = imread('einstein_orig.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);

[M,N] = size(f);
g = zeros(M,N);

Min_f = min(min(f));
Max_f = max(max(f));
m = (Min_f + Max_f)/2;

Out_put_min = 0.05;
Out_put_max = 0.95;

E_1 = log(1/Out_put_min - 1)/log(m/(Min_f+eps));
E_2 = log(1/Out_put_max - 1)/log(m/(Max_f+eps));
E = ceil(min(E_1,E_2)-1);

g = 1 ./(1 + (m ./ (f+ eps)).^E);
g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);

figure();
subplot(2,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');

subplot(2,2,2);
r = imhist(f)/(M*N);
bar(0:1/255:1,r);
axis([0 1 0 max(r)]);
xlabel('b).The Histogram of a');
ylabel('Number of pixels');

subplot(2,2,3);
imshow(g,[0 1]);
xlabel('c).Results of Contrast stretching');

subplot(2,2,4);
s = imhist(g)/(M*N);
bar(0:1/255:1,s);
axis([0 1 0 max(s)]);
xlabel('b).The Histogram of a');
ylabel('Number of pixels');

in_put = 0:1/255:1;
Out_put1 = 1 ./(1 + (m ./ (double(in_put)+ eps)).^E);
Out_put1 = mat2gray(Out_put1,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);

figure();
plot(in_put,Out_put1);
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
xlabel('Input intensity level');
ylabel('Onput intensity level');
           

       灰階切割

       灰階切割也是一個很簡單，但也很實用的變換。灰階切割，主要用于強調圖像的某一部份，将這個部分賦為一個較高的灰階值，其變換對應關系如下所示。

灰階切割有以上兩種方法，一種是特定灰階值的部分指派為一個較高的灰階值，其餘部分為一個較低的灰階值。這樣的方法，得到的結果是一個二值化圖像。另外一種方法，則是僅僅強調部分指派為一個較高的灰階值，其餘的部分不變。        實驗：

       位圖切割

       位圖切割，就是按照圖像的位，将圖像分層處理。若圖像的某個像素，其bit7為1，則在位面7這個像素值為1，反之則為0。

       實驗：

       由位圖切割的結果，圖像的主要資訊包含在了高4位。僅僅靠高4位，還原的圖像更原圖基本差不多。由此可見，位圖切割主要用于圖像壓縮。

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