MODERN ROBOTICS MECHANICS 第五章 Velocity Kinematics and Statics（速度運動學與靜力學）

• 這一章主要講解當給定關節角度和關節角速度，求末端執行器的速度

  

• 主要可以分為以下幾個部分

1 雅各比矩陣

• 雅各比矩陣是個數學上的概念，他是這樣定義的：已知

• 雅各比矩陣實際上是個偏微分矩陣：雅各比矩陣的第

  i

  列就是關節

  i

  對末端執行器速度的影響

2 雅各比矩陣在固定坐标系{s}中的表示

• 線性方程的一些性質：

• 雅各比矩陣的推倒：

• 對雅各比矩陣的了解：雅各比矩陣的第

  i

  列向量是當其他關節為變量時，第

  i

  關節軸對末端執行器的影響
• 雅各比矩陣的每一列

  

  與第四章的求各個關節旋量

  

  看似一樣，但是這裡不同之處在于雅各比矩陣

  

  ​

  中的

  

  ​

  是這各個關節變量為變量時，求取得；關節旋量

  

  ​

  中的

  

  是這各個關節變量為0時，求取得；

3 雅各比矩陣在移動坐标系{b}中的表示

• 推導與上一節類似：

4 固定坐标與移動坐标系的雅各比矩陣的關系

• 推導過程見書：

5 雅各比矩陣在靜力學的作用

• 關節的動力 = 移動機器人的動力 + 末端執行器的動力
• 功率守恒

• 這個公式很有用，當已知末端執行器的輸出力矩，計算各個關節的轉到力矩（也就是我們說的力控）

6 開鍊運動學中的運動奇點

• 奇異性：
  • 在奇異位置，末端執行器在空間中失去向某一方向運動的能力
  • 雅各比矩陣的秩小于工作空間自由度（

    

    ）
• 對于六自由度（由旋轉副和移動副組成）的開鍊，有幾種狀态的奇異：
  • 兩個關節軸共線

• 三軸平行且共面

• 四軸交于一點

• 四軸共面
• 六軸交于公共直線上

7 執行橢球的作用

• 執行橢球是用來衡量一個裝置在目前位姿下沿各個方向運動的能力
• 在畫執行橢球時，要求

  

• 執行橢球的主軸為

  

  的特征向量，半長軸的長度為特征值的開方

8 力橢球的作用

• 力橢球是用來衡量一個裝置在目前位姿下沿各個方向産生力的能力
• 在畫力橢球時，要求

  

• 力橢球的主軸為

  

  的特征向量，半長軸的長度為特征值的開方

9 執行橢球與力橢球的度量

9.1 執行橢球的度量

• 雅各比矩陣可以分為角速度雅各比與線速度雅各比

• 也就有角速度橢球與線速度橢球
• 執行橢球的度量

9.2 力橢球的度量

• 雅各比矩陣可以分為角速度雅各比與線速度雅各比

• 也就有扭矩橢球與力橢球
• 執行橢球的度量