機器人動力學（雅克比）

基礎知識

速度矢量，角速度矢量，叉乘運算

速度是描述質點運動快慢和方向的實體量，等于位移對時間的微分。同時也等于加速度對時間的積分。

角速度： 定義：一個以弧度為機關的圓（一個圓周為2π,即：360度=2π),在機關時間内所走的弧度即為角速度，ω=dφ/dt

角速度的方向垂直于轉動平面，可通過右手螺旋定則來确定。

線速度=角速度叉乘半徑( v = w × r v=w\times r v=w×r)（由圓心向外指） 根據叉乘的右手法則來規定角速度的方向

叉乘：

剛體的線速度和角速度

線速度

把坐标系{B} 固連在一剛體上，要求描述相對于坐标系{A} 的運動 B Q ^{B}\textrm{Q} BQ這裡已經認為坐标系{A} 是固定的。

坐标系{B} 相對于坐标系{A} 的位置用位置矢量 A P B O R G ^{A}\textrm{P}_{BORG} APBORG​ 和旋轉矩陣 B A R _{B}^{A}\textrm{R} BA​R來描述。此時，假定方位 B A R _{B}^{A}\textrm{R} BA​R不随時間變化，則Q點相對坐标系{A} 的運動是由于 A P B O R G ^{A}\textrm{P}_{BORG} APBORG​ 或 B Q ^{B}\textrm{Q} BQ随時間的變化引起的。

求解坐标系{A} 中Q 點的線速度是非常簡單的。隻要寫出坐标系{A} 中的兩個速度分量，求其和為： A V Q = A V B O R G + B A R B V Q ^{A}\textrm{V}_Q=^{A}\textrm{V}_{BORG}+_{B}^{A}\textrm{R} ^{B}\textrm{V}_Q AVQ​=AVBORG​+BA​RBVQ​ (1)

(1)隻适用千坐标系{B}和坐标系{A} 的相對方位保持不變的情況!

角速度

如圖1兩坐标系原點重合且相對線速度為零，固定在坐标系{B}上的矢量 B Q ^{B}\textrm{Q} BQ

以角速度 A Ω B ^{A}\Omega_B AΩB​相對于坐标系{A}旋轉。那麼從{A}看固定在{B}中的矢量随時間變化，可以根據下圖分析：

從坐标系{B}看矢量Q是不變的： B V Q = 0 ^{B}\textrm{V}_Q=0 BVQ​=0

從坐标系{A}中看點Q的速度為旋轉角速度 A Ω B ^{A}\Omega_B AΩB​

下圖顯示了矢量Q繞 A Ω B ^{A}\Omega_B AΩB​的旋轉，是從坐标系{A}中觀測到的

可以由圖2-3得知：

1、 A Q ^{A}\textrm{Q} AQ的微分增量一定垂直于 A Ω B ^{A}\Omega_B AΩB​和 A Q ^{A}\textrm{Q} AQ

2、微分增量的大小為： ∣ Δ Q ∣ = ( A Q s i n θ ) ( ∣ A Ω B ∣ Δ t ) |\Delta Q|=(^{A}\textrm{Q}sin\theta)(|^{A}\Omega_B| \Delta t) ∣ΔQ∣=(AQsinθ)(∣AΩB​∣Δt)

又餓了大小和方向，就可以得到矢量積，根據角速度矢量公式有 A V Q = A Ω B × A Q ^{A}\textrm{V}_{Q}=^{A}\Omega_B\times^{A}\textrm{Q} AVQ​=AΩB​×AQ

但是一般情況下Q是相對于坐标系{B}變化的，加上一個分量，可有：

A V Q = B A R B V Q + A Ω B × B A R B Q ^{A}\textrm{V}_Q=_{B}^{A}R^BV_Q+^{A}\Omega_B\times_B^AR^BQ AVQ​=BA​RBVQ​+AΩB​×BA​RBQ

緊接着将以上線速度與角速度擴充為坐标系原點不重合的情況，最終可以推導出從坐标系{A}觀測坐标系{B}中固定速度矢量的最終普遍表達式：

A V Q = A V B O R G + B A R B V Q + A Ω B × B A R B Q ^{A}\textrm{V}_Q=^AV_{BORG}+_{B}^{A}R^BV_Q+^{A}\Omega_B\times_B^AR^BQ AVQ​=AVBORG​+BA​RBVQ​+AΩB​×BA​RBQ

連杆間的速度傳遞

連杆間速度的傳遞就如同位姿變換一般，可以通過連杆間的推導從基座的速度逐漸推導到末端速度

角速度

當兩個 ω \omega ω矢量都是相對于同一個坐标系時，那麼這些角速度能夠相加。是以，連杆i+l 的角速度就等于連杆i的角速度加上一個由于關節i+ 1 的角速度引起的分量。參照坐标系{i}, 可寫成：（實在懶得打公式，直接截圖了）

其中

注意：隻有當所有速度矢量都變換到相對于通一個坐标系表述時，兩個速度矢量才可以相加！

可以帶到得到連杆i+1角速度相對于坐标系{i+1}的表達式

線速度

坐标系{i+ 1} 原點的線速度等于坐标系{i} 原點的線速度加上一個由于連杆i的角速度引起的新的分量。是以有：

要得到連杆3的速度相對于固定坐标系表達式，用旋轉矩陣 3 0 R ^0_3R 30​R對其作旋轉變換即可

雅克比

雅克比矩陣是以n個n元函數的偏導數為元素的行列式，事實上，在函數都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函數組的微分形式下的系數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式

在這裡表示的是速度的映射，是一個時變線性映射 Y ˙ = J ( X ) X ˙ \dot{Y}=J(X)\dot{X} Y˙=J(X)X˙

在機器人學中，通常使用雅可比将關節速度與操作臂末端的笛卡兒速度聯系起來：

0 v = 0 J ( Θ ) Θ ˙ ^0v=^0J(\Theta)\dot{\Theta} 0v=0J(Θ)Θ˙

其中 Θ \Theta Θ為操作部關節角矢量， v v v是笛卡爾速度矢量，對于6關節機器人，雅克比矩陣是6x6階矩陣， Θ \Theta Θ是6x1維額， 0 v ^0v 0v也是6x1維，由一個3x1維線速度矢量和一個3x1維角速度矢量組合起來的

根據

可以得到雅克比矩陣：

力域中的雅克比

在多元空間中，功是一個力或者力矩矢量與位移矢量的點積，利用虛功原理可知：

由上式可知，雅克比的轉置将作用在手臂上的笛卡爾力映射成了等效關節力矩，當得到相對于坐标系{0}的雅克比矩陣後，可有對坐标系{0}中的力矢量進行變換：

當雅克比矩陣不滿秩時，同位置域中的奇異性相同，存在某些特定的方向，末端執行器在這些方向上不能施加期望靜态力，在奇異位置，末端笛卡爾施加的力在某些方向上增大或者減小，與所求的關節空間驅動力的值無關

matlab代碼

J = robot.jacob0(q)  %jacob0()求解的是将關節速度映射到世界坐标系中的末端執行器空間速度
Jn = jaconb(q);%末端執行器在自身空間内的速度