0. 算子：平移、旋轉和變換
用于坐标系間點的映射的通用數學表達式稱為算子，包括點的平移算子、旋轉算子和平移加旋轉算子。
0.0 平移算子
平移将空間中的一個點沿着一個已知的矢量方向移動一定距離。對空間中一點實際平移的描述僅與一個坐标系有關。空間中點的平移與此點向另一個坐标系的映射具有相同的數學描述，是以弄清楚映射的數學意義是非常重要的。這個差別很簡單：當一個矢量相對于一個坐标系“向前移動”時，既可以認為是矢量“向前移動”，也可以認為坐标系“向後移動”，兩者的數學表達式是相同的，隻不過是觀察的位置不同。
如上圖所示，将
aP1
沿着
aQ
平移
平移的結果是得到一個新的矢量
aP2
用矩陣算子寫出的平移變換是：
其中：
表達式中的
q
是沿已知矢量方向平移的數量，它也是有符号的。
qx
、
qy
、
qz
是平移和矢量
Q
的分量，而且：
0.1 旋轉算子
旋轉矩陣還可以用旋轉變換算子來定義，它将一個矢量用旋轉變成另一個矢量aP1
aP2
用旋轉算子寫出的數學表達式是：
旋轉和平移的情況一樣，旋轉變換和旋轉映射的數學表達式相同，隻是意義不同。
矢量經某一旋轉R得到的旋轉矩陣與一個坐标系相對于參考坐标系經某一旋轉R得到的旋轉矩陣是相同的。
我們使用另一個符号來表示旋轉算子以明确說明是繞哪個軸旋轉的：
上式中的
k
表示繞
K
軸旋轉，
θ
表示旋轉的角度。将這個算子變成矩陣的形式如下：
0.2 變換算子
相同，坐标系也可以使用變換算子來定義。坐标系和坐标系映射的數學描述也是相同的，也是意義不同。
一個變換通常被認為是由一個廣義旋轉矩陣和位置矢量分量組成的齊次變換的形式。
形如下圖：
這就是一個算子T，表示了繞
Z
軸旋轉
θ
度，沿
X
軸平移
x
個機關，沿
Y
軸平移
y
個機關，沿
Z
軸平移
z
個機關