MODERN ROBOTICS MECHANICS 第五章 Velocity Kinematics and Statics（速度运动学与静力学）

• 这一章主要讲解当给定关节角度和关节角速度，求末端执行器的速度

  

• 主要可以分为以下几个部分

1 雅各比矩阵

• 雅各比矩阵是个数学上的概念，他是这样定义的：已知

• 雅各比矩阵实际上是个偏微分矩阵：雅各比矩阵的第

  i

  列就是关节

  i

  对末端执行器速度的影响

2 雅各比矩阵在固定坐标系{s}中的表示

• 线性方程的一些性质：

• 雅各比矩阵的推倒：

• 对雅各比矩阵的理解：雅各比矩阵的第

  i

  列向量是当其他关节为变量时，第

  i

  关节轴对末端执行器的影响
• 雅各比矩阵的每一列

  

  与第四章的求各个关节旋量

  

  看似一样，但是这里不同之处在于雅各比矩阵

  

  ​

  中的

  

  ​

  是这各个关节变量为变量时，求取得；关节旋量

  

  ​

  中的

  

  是这各个关节变量为0时，求取得；

3 雅各比矩阵在移动坐标系{b}中的表示

• 推导与上一节类似：

4 固定坐标与移动坐标系的雅各比矩阵的关系

• 推导过程见书：

5 雅各比矩阵在静力学的作用

• 关节的动力 = 移动机器人的动力 + 末端执行器的动力
• 功率守恒

• 这个公式很有用，当已知末端执行器的输出力矩，计算各个关节的转到力矩（也就是我们说的力控）

6 开链运动学中的运动奇点

• 奇异性：
  • 在奇异位置，末端执行器在空间中失去向某一方向运动的能力
  • 雅各比矩阵的秩小于工作空间自由度（

    

    ）
• 对于六自由度（由旋转副和移动副组成）的开链，有几种状态的奇异：
  • 两个关节轴共线

• 三轴平行且共面

• 四轴交于一点

• 四轴共面
• 六轴交于公共直线上

7 执行椭球的作用

• 执行椭球是用来衡量一个装置在当前位姿下沿各个方向运动的能力
• 在画执行椭球时，要求

  

• 执行椭球的主轴为

  

  的特征向量，半长轴的长度为特征值的开方

8 力椭球的作用

• 力椭球是用来衡量一个装置在当前位姿下沿各个方向产生力的能力
• 在画力椭球时，要求

  

• 力椭球的主轴为

  

  的特征向量，半长轴的长度为特征值的开方

9 执行椭球与力椭球的度量

9.1 执行椭球的度量

• 雅各比矩阵可以分为角速度雅各比与线速度雅各比

• 也就有角速度椭球与线速度椭球
• 执行椭球的度量

9.2 力椭球的度量

• 雅各比矩阵可以分为角速度雅各比与线速度雅各比

• 也就有扭矩椭球与力椭球
• 执行椭球的度量