了解傅立葉變換的本質——背景篇

在電子通信專業的課程中，傅立葉變換一直是重頭戲。傅立葉變換到底是什麼呢？通常我們看待一個信号，是從時域的角度去觀察的，即觀察信号值與時間的關系；而傅立葉變換給了我們另一個觀察信号的角度，即我們可以從頻域的角度來觀察信号。這是對信号本質的另一種了解。我們可以把信号分解成不同頻率的正弦波之和，在時域中我們觀察信号幅度與時間的關系，而在頻域中我們觀察信号幅度與正弦波頻率的關系。需要說明的是時域也好，頻域也好，都隻是觀察信号本質的一個視窗，它們是對同一事物的不同描述。說不定某天我們還能想出别的觀察視窗，來更好的了解信号本質。

 讀者可能會問兩個問題：1.為什麼我們要從頻域觀察信号呢？時域視窗直覺，好了解，為什麼我們還要用頻域這一反人性的概念呢？  2. 頻域是将信号拆分成多個（可以是無窮個）的正弦波來分析的，特指的是正弦波的頻率，那麼把信号拆分成多個方波行不行？三角波呢？

首先回答第一個問題，之是以我們提出頻域概念，從頻域角度來觀察信号，是為了友善計算與表示信号而用，也就是說用頻域來描述一個信号，有時比時域來描述要友善的多，舉例子來說，對于信号X(t) = sinw0t+sin2w0t，我們用示波器觀察它的顯示，會發現它很亂，不幹淨，我們不大能夠一下子從圖中看出它的信号本質，而如果我們用頻譜儀觀察它，它會很簡潔哦。這是從描述信号友善性來說，用頻域觀察的好處，當然不是所有信号都是頻域看起來簡潔，而時域看起來複雜的，也有很多是相反的。僅僅從描述信号簡潔性來說，讀者很可能認為這有些小題大做了，對此，我深以為然。不過引入頻域的概念還給了我們一個不能拒絕的好處…… 在信号與系統這麼課中，我們着重講了線性時不變系統，為什麼着重講這個系統呢？當然是因為這種系統最簡單了！另外實際生活中，很多不是線性時不變的系統都可以近似用線性時不變系統代替。而線性時不變系統，有一個最基本的推論，即對于信号x(t)，當它經過一個線性時不變系統後，它的輸出y(t)=x(t)*h(t)（*表示卷積運算，别認為是乘法了。。。我這裡以連續信号舉例），其中h(t)是系統的機關沖擊響應。讀者可以看到這裡存在一個卷積運算了，這種運算是十分讨厭的，相信跟它打過交道的讀者都能感同身受吧。這裡我們不詳述卷積的運算過程了。有讀者可能會好奇，為啥是卷積呢？那個h(t)又是啥東西呢？關于這兩個問題我曾經也好奇過，其實很多信号與系統書上開始就會證明這個東西，但我們通常會漏掉，讀者感興趣可以去看看它的證明過程。好了，說了那麼多廢話，還是沒說那個引入頻域後給我們帶來的不能拒絕的好處。。。一句話，時域卷積對應于頻域乘積（這可能是數學的巧合，也可能是傅立葉同學下的一盤很大的棋）。一個信号經過線性時不變系統後，如果從時域角度觀察，它是要經過卷積運算了，而如果從頻域角度觀察這件事情，它僅僅做了乘法。這就是我所謂的不能拒絕的好處，乘法運算太簡單了！卷積運算太麻煩了！

接下來，回答第二個問題，我們當然可以把信号拆分成多個方波的組合，并且以方波的頻率來定義頻域（這句話很抽象，我也不知道為啥我要寫這句自己都不大看得明白的話），但是正弦波的好處很直覺，對它積分和微分它的形狀都沒變，僅僅在幅度和相角上發生了變化（幅度和相角那都不是事），這就是為什麼我們說的頻域，是将信号拆分成正弦波，而不是方波，三角波還有另外一些不入流的波。

傅立葉變換本質上是一種映射關系，對于不同的信号，傅立葉變換是不同的，根據信号在時域上的特征，可以将信号分成4類：

1. 連續周期信号 2. 連續非周期信号 3. 離散周期信号 4.離散非周期信号。

在下一篇中，我将介紹下這四種傅立葉變換之間的關系。