【高等數學基礎進階】函數、極限、連續-補充+練習 & 導數與微分-練習

函數、極限、連續

極限的存在準則補充

例1：極限$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=()$

$$

\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=-1,\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=1

$$

是以極限不存在

需要分左、右極限的問題常見以下三種

• 分段函數分界點處的極限，而在該分界點兩側函數表達式不同（這裡也包括帶有絕對值的函數，如$\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}{x}$
• $e^{\infty}$型極限（如$\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}},\lim\limits_{x\to \infty}e^{x},\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x}$）

$\lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0,\lim\limits_{x\to0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=+\infty,\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}不存在$

    $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{x}=0,\lim\limits_{x\to +\infty}e^{x}=+\infty,\lim\limits_{x\to \infty}e^{x}不存在$

    即$e^{\infty}\ne \infty,e^{+\infty}=+\infty,e^{-\infty}=0$

• $\arctan \infty$型極限（如$\lim\limits_{x\to0} \arctan \frac{1}{x},\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x$）

    $\lim\limits_{x\to0^{-}} \arctan \frac{1}{x}=- \frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to0^{+}} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to0} \arctan \frac{1}{x}不存在$

    $\lim\limits_{x\to-\infty}\arctan x=- \frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x不存在$

    即$\arctan \infty\ne \frac{\pi}{2},\arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2},\arctan(-\infty)=- \frac{\pi}{2}$

利用有理運算法則和泰勒公式求極限

例2：設$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}=2$，則$a=(),b=()$

當分母有因式等于$0$，且該分式去掉該因式後使用加法法則各項不全為$0$，可以乘以該因式用加法法則

左右同乘$x$

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x}&=0\

\lim\limits_{x\to0}1-a-bx&=0\

a&=1

\end{aligned}

$$

（此處如果乘$x^{2}$剩下$\lim\limits_{x\to0}x-ax-bx^{2}$每一項都為$0$，是以不可行）

本題以本人的能力用這種方法隻能算到這裡了

泰勒展開

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}&=\lim\limits_{x\to0}\frac{x- \frac{x^{2}}{2}-(ax+bx^{2})+o(x^{2})}{x^{2}}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x-(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}\tag{1}

\end{aligned}

$$

對于該式，由于$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}=2,\lim\limits_{x\to0}\frac{(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}-b$，是以$\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x}{x^{2}}$一定存在，可得$a=1$

帶回$(1)$

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x-(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}&=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}\

&=-\frac{1}{2}-b=2

\end{aligned}

$$

可得$b=- \frac{5}{2}$

觀察到分式為極限存在，分母$\to0$，顯然分子也$\to0$，是以，可以考慮洛必達法則

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}&=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}-a-2bx}{2x}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)-(a+2b)x-2bx^{2}}{2x(1+x)}

\end{aligned}

$$

若$1-a\ne0$則原式極限為$\infty$，當$a=1$帶回上式

$$

\begin{aligned}

上式&=\lim\limits_{x\to0}\frac{-(1+2b)x-2bx^{2}}{2x(1+x)}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{-(1+2b+2bx)x}{2x(1+x)}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{-(1+2b+2bx)}{2+2x}\

&當x\to0時,上式分子分母都不為0,是以可以直接代入\

&=- \frac{1+2b}{2}=2

\end{aligned}

$$

可得$b=- \frac{5}{2}$

無窮小量階的比較

例3：已知$a,b$為常數，若$(1+ \frac{1}{n})^{n}-e$與$\frac{b}{n^{a}}$在$n\to \infty$時是等價無窮小，求$a,b$

如果有因式加減（加可以變成減）等于$0$，可以考慮先化成相同形式，再用拉格朗日中值定理求等價

當$n\to \infty$時

$$

\begin{aligned}

(1+ \frac{1}{n})^{n}-e&=e^{n\ln(1+ \frac{1}{n})}-e,此處用e^{x}-1的等價也可以\

&=e^{\xi}(n\ln(1+ \frac{1}{n})-1),\xi在n\ln(1+ \frac{1}{n})和1之間\

&\sim e(n\ln(1+ \frac{1}{n})-1)\

&=ne[\ln(1+ \frac{1}{n})- \frac{1}{n}]\

&=ne(- \frac{1}{2}( \frac{1}{n})^{2})\

&=- \frac{e}{2n}

\end{aligned}

$$

由題意知$- \frac{e}{2n}\sim \frac{b}{n^{a}}$，則$a=1,b=- \frac{e}{2}$

判斷間斷點的類型

例4：函數$f(x)=\frac{e^\frac{1}{x-1}\ln|1+x|}{(e^{x}-1)(x-2)}$的第二類間斷點的個數為（）

隻要兩個有一個極限不存在即為第二類間斷點

$k$表示非零常數，對本題求解無影響

$$

\lim\limits_{x\to0}f(x)=k\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x+1|}{e^{x}-1}=k\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x+1|}{x}=k\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=k

$$

$x=0$不是無窮間斷點

對于$\ln|x|$類型求極限建議使用洛必達法則，因為$(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$

$$

\lim\limits_{x\to2}f(x)=k\lim\limits_{x\to2} \frac{1}{x-2}=\infty

$$

$x=2$是無窮間斷點

$$

\lim\limits_{x\to1}f(x)=k\lim\limits_{x\to1}e^\frac{1}{x-1}\begin{cases}

\infty&x\to1^{+} \

0&x\to1^{-}

\end{cases}

$$

$x=1$是無窮間斷點

$$

\lim\limits_{x\to-1}f(x)=k\lim\limits_{x\to-1}\ln|1+x|=\infty

$$

$x=-1$是無窮間斷點

綜上，有四個無窮間斷點

導數與微分

導數定義

例1：設函數$f(x)$在$(-1,1)$上有定義，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，說明：

1. 當$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$時，$f(x)$在$x=0$處可導不成立
2. 當$f(x)$在$x=0$處可導時，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{2}}=0$不成立
3. 當$f(x)$在$x=0$處可導時，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$成立

對于$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$和$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$，都隻能說明函數在$0$周圍去心鄰域的性質，而導數需要研究$x=0$處的函數性質，是以1. 顯然不成立

$f(x)$在$x=0$處可導，即$f(x)$在$x=0$處連續，由于$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，可知$f(0)=0$，根據導數定義

$$

f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(0+x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=A,A為實數

$$

由題意

$$

\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x} \frac{1}{x}=A\lim\limits_{x\to0} \frac{1}{x}=A\cdot\infty

$$

顯然$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}$不一定為$0$，是以2. 不成立

由題意

$$