【高等数学基础进阶】函数、极限、连续-补充+练习 & 导数与微分-练习

函数、极限、连续

极限的存在准则补充

例1：极限$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=()$

$$

\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=-1,\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=1

$$

因此极限不存在

需要分左、右极限的问题常见以下三种

• 分段函数分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同（这里也包括带有绝对值的函数，如$\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}{x}$
• $e^{\infty}$型极限（如$\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}},\lim\limits_{x\to \infty}e^{x},\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x}$）

$\lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0,\lim\limits_{x\to0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=+\infty,\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}不存在$

    $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{x}=0,\lim\limits_{x\to +\infty}e^{x}=+\infty,\lim\limits_{x\to \infty}e^{x}不存在$

    即$e^{\infty}\ne \infty,e^{+\infty}=+\infty,e^{-\infty}=0$

• $\arctan \infty$型极限（如$\lim\limits_{x\to0} \arctan \frac{1}{x},\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x$）

    $\lim\limits_{x\to0^{-}} \arctan \frac{1}{x}=- \frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to0^{+}} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to0} \arctan \frac{1}{x}不存在$

    $\lim\limits_{x\to-\infty}\arctan x=- \frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x不存在$

    即$\arctan \infty\ne \frac{\pi}{2},\arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2},\arctan(-\infty)=- \frac{\pi}{2}$

利用有理运算法则和泰勒公式求极限

例2：设$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}=2$，则$a=(),b=()$

当分母有因式等于$0$，且该分式去掉该因式后使用加法法则各项不全为$0$，可以乘以该因式用加法法则

左右同乘$x$

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x}&=0\

\lim\limits_{x\to0}1-a-bx&=0\

a&=1

\end{aligned}

$$

（此处如果乘$x^{2}$剩下$\lim\limits_{x\to0}x-ax-bx^{2}$每一项都为$0$，所以不可行）

本题以本人的能力用这种方法只能算到这里了

泰勒展开

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}&=\lim\limits_{x\to0}\frac{x- \frac{x^{2}}{2}-(ax+bx^{2})+o(x^{2})}{x^{2}}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x-(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}\tag{1}

\end{aligned}

$$

对于该式，由于$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}=2,\lim\limits_{x\to0}\frac{(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}-b$，因此$\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x}{x^{2}}$一定存在，可得$a=1$

带回$(1)$

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x-(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}&=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}\

&=-\frac{1}{2}-b=2

\end{aligned}

$$

可得$b=- \frac{5}{2}$

观察到分式为极限存在，分母$\to0$，显然分子也$\to0$，因此，可以考虑洛必达法则

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}&=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}-a-2bx}{2x}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)-(a+2b)x-2bx^{2}}{2x(1+x)}

\end{aligned}

$$

若$1-a\ne0$则原式极限为$\infty$，当$a=1$带回上式

$$

\begin{aligned}

上式&=\lim\limits_{x\to0}\frac{-(1+2b)x-2bx^{2}}{2x(1+x)}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{-(1+2b+2bx)x}{2x(1+x)}\

&=\lim\limits_{x\to0}\frac{-(1+2b+2bx)}{2+2x}\

&当x\to0时,上式分子分母都不为0,因此可以直接代入\

&=- \frac{1+2b}{2}=2

\end{aligned}

$$

可得$b=- \frac{5}{2}$

无穷小量阶的比较

例3：已知$a,b$为常数，若$(1+ \frac{1}{n})^{n}-e$与$\frac{b}{n^{a}}$在$n\to \infty$时是等价无穷小，求$a,b$

如果有因式加减（加可以变成减）等于$0$，可以考虑先化成相同形式，再用拉格朗日中值定理求等价

当$n\to \infty$时

$$

\begin{aligned}

(1+ \frac{1}{n})^{n}-e&=e^{n\ln(1+ \frac{1}{n})}-e,此处用e^{x}-1的等价也可以\

&=e^{\xi}(n\ln(1+ \frac{1}{n})-1),\xi在n\ln(1+ \frac{1}{n})和1之间\

&\sim e(n\ln(1+ \frac{1}{n})-1)\

&=ne[\ln(1+ \frac{1}{n})- \frac{1}{n}]\

&=ne(- \frac{1}{2}( \frac{1}{n})^{2})\

&=- \frac{e}{2n}

\end{aligned}

$$

由题意知$- \frac{e}{2n}\sim \frac{b}{n^{a}}$，则$a=1,b=- \frac{e}{2}$

判断间断点的类型

例4：函数$f(x)=\frac{e^\frac{1}{x-1}\ln|1+x|}{(e^{x}-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为（）

只要两个有一个极限不存在即为第二类间断点

$k$表示非零常数，对本题求解无影响

$$

\lim\limits_{x\to0}f(x)=k\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x+1|}{e^{x}-1}=k\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x+1|}{x}=k\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=k

$$

$x=0$不是无穷间断点

对于$\ln|x|$类型求极限建议使用洛必达法则，因为$(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$

$$

\lim\limits_{x\to2}f(x)=k\lim\limits_{x\to2} \frac{1}{x-2}=\infty

$$

$x=2$是无穷间断点

$$

\lim\limits_{x\to1}f(x)=k\lim\limits_{x\to1}e^\frac{1}{x-1}\begin{cases}

\infty&x\to1^{+} \

0&x\to1^{-}

\end{cases}

$$

$x=1$是无穷间断点

$$

\lim\limits_{x\to-1}f(x)=k\lim\limits_{x\to-1}\ln|1+x|=\infty

$$

$x=-1$是无穷间断点

综上，有四个无穷间断点

导数与微分

导数定义

例1：设函数$f(x)$在$(-1,1)$上有定义，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，说明：

1. 当$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$时，$f(x)$在$x=0$处可导不成立
2. 当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{2}}=0$不成立
3. 当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$成立

对于$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$和$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$，都只能说明函数在$0$周围去心邻域的性质，而导数需要研究$x=0$处的函数性质，因此1. 显然不成立

$f(x)$在$x=0$处可导，即$f(x)$在$x=0$处连续，由于$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，可知$f(0)=0$，根据导数定义

$$

f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(0+x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=A,A为实数

$$

由题意

$$

\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x} \frac{1}{x}=A\lim\limits_{x\to0} \frac{1}{x}=A\cdot\infty

$$

显然$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}$不一定为$0$，因此2. 不成立

由题意

$$