Games101_Lecture 02_向量與線性代數

Vectors(向量)

向量的長度 : ∥ a ⃗ ∥ \lVert\vec{a}\rVert ∥a

∥

機關向量= 向量/向量的長度 (代表方向)： a ^ = a ⃗ / ∥ a ∥ \hat{a}=\vec a/\lVert a\rVert a^=a

/∥a∥ (代表方向)

列向量 : A = ( x y ) A=\dbinom{x}{y} A=(yx​)

轉置變成行向量 : A T = ( x , y ) A^T = (x,y) AT=(x,y)

向量點乘:

得到的結果為數值

1. a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∥ a ⃗ ∥ ∥ b ⃗ ∥ c o s θ \vec{a}\cdot\vec b =\lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert cos\theta a

   ⋅b

   =∥a

   ∥∥b

   ∥cosθ

2. c o s θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∥ a ⃗ ∥ ∥ b ⃗ ∥ cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec b}{\lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert } cosθ=∥a

   ∥∥b

   ∥a

   ⋅b

   ​

3. 如果都為機關向量: c o s θ = a ^ ⋅ b ^ cos\theta = \hat{a}\cdot\hat b cosθ=a^⋅b^

   （ a ^ \hat a a^代表機關向量）

點乘的運算法則:

1. 交換律
2. 配置設定律
3. 結合律

2維點乘:

3維點乘:

向量b投影到向量a上:

向量點乘作用 :

判斷兩個向量是接近,遠離還是垂直,根據向量間的角度,即兩向量之間點乘的值

若為正數 : 接近

若為負數 : 遠離

若為0 : 垂直

向量叉乘:

得到的結果為向量

使用右手定則, 四指方向為a , 螺旋方向為b ,拇指方向為叉乘結果

a×b : (螺旋大拇指向上)

b×a : (螺旋大拇指向下)

運算法則:

叉乘作用:

1. 判斷一個向量a在另一個向量b的哪邊
   • 判斷向量b在向量a左邊,叉乘結果為正數 :
   • 向量a在向量b右邊,叉乘結果為負數 :
2. 判斷一個點是否在圖形内(一般用于判斷像素是否在區域内,然後考慮着色)
   • (右手螺旋定則) AB×AP = 正數 (是以AP在AB左邊)
   • BC×BP = 正數 (是以BP在BC左邊)
   • CA×CP = 正數 (是以CP在CA左邊)

   故判斷出P在三角形ABC裡面,(同理,都在右邊也成立)

   反之,有一個叉乘結果不同于其他叉乘結果,則P在三角形外面.

   

Matrix(矩陣):

矩陣a(M,N) × 矩陣b(N,P) = 矩陣c(M,P)

a(3,2) , b(2,4) , c(3,4)

c[第2行,第4列]=a[第2行]各元素 依次乘以 b[第4列]各元素後相加

比如 : 54 + 23 = 26

性質 : 不存在交換律(不交換順序)

矩陣轉置:

1. 

2. 

機關矩陣 與 矩陣互逆:

向量點積轉換為矩陣:

向量叉積轉換為矩陣: