曲線曲面積分、重積分總結

文章目錄

• ​​寫在前面​​
• ​​曲線積分​​

• ​​第一型曲線積分​​

• ​​引入​​
• ​​定義​​
• ​​性質​​
• ​​計算方法​​

• ​​第二型曲線積分​​

• ​​引入​​
• ​​定義​​
• ​​性質​​
• ​​計算​​

• ​​二重積分​​

• ​​引入​​
• ​​定義​​
• ​​性質​​
• ​​Green公式​​
• ​​曲線積分與路線的無關性​​
• ​​變量替換​​

• ​​直角坐标變換​​
• ​​極坐标變換​​

• ​​廣義極坐标變換​​

• ​​三重積分​​

• ​​引入​​
• ​​化成累次積分​​

• ​​“先切條，後紮捆”：先對高積分，後對截面積分​​
• ​​“先切面，後疊加”：先對截面積分，後對高積分​​

• ​​變量替換​​

• ​​一般情況​​
• ​​柱面坐标變換​​
• ​​球坐标變換​​

• ​​廣義球坐标變換​​

• ​​曲面積分​​

• ​​第一型曲面積分​​

• ​​引入​​
• ​​計算​​

• ​​第二型曲面積分​​

• ​​曲面的側​​
• ​​引入​​
• ​​性質​​
• ​​計算​​

• ​​Gauss公式​​

• ​​定理​​

• ​​Stokes公式​​

• ​​右手法則​​
• ​​定理​​
• ​​另一種形式​​

• ​​空間曲線積分與路線的無關性​​

寫在前面

總結常見的各種曲線曲面積分以及重積分，參考華東師大版《數學分析(下冊)》（第四版）。

曲線積分

研究定義在平面或空間曲線段上的函數的積分。

第一型曲線積分

引入

利用密度函數的積分求品質，即在計算品質分布在平面（二維）或空間曲線段（三維）上的物體的品質時，使用第一型曲線積分。第一型曲線積分與曲線的方向無關。

定義

設為平面上可求長度的曲線段，是定義在上的函數。對曲線作分割,它把分割成個可求長度的小曲線段，的弧長記為，分割的細度為，在上任取一點. 若有極限

且的值與分割、點的取法無關，則稱此極限為在上的第一型曲線積分，記作

性質

1. 線性性；
2. 區間可加性；
3. 積分不等式；
4. 絕對值不等式；

5. 若存在，的弧長為，則存在常數，使得

   這裡.

6. 幾何意義：以定義在平面上的分段光滑曲線為準線，母線平行于軸的柱面截取部分的面積。

計算方法

定理：

設有光滑曲線

函數為定義在上的連續函數，則有

證明思路：由弧長公式和積分中值定理得到。

另一種常用的格式：

當曲線由方程表示，且在上有連續導函數時，有

第二型曲線積分

引入

實體學中的變力做功問題。第二型曲線積分與曲線的方向有關。

定義

設函數定義在平面有向可求長度曲線上。對的任一分割, 它把分成個小弧段

其中, 記各小弧段的弧長為，分割的細度. 又設的分點的坐标為，記。在每個小弧段上任取一點，若極限

存在且與分割與點的取法無關，則稱此極限為函數沿有向曲線上的第二型曲線積分，記為

若為封閉的有向曲線，則記為

性質

1. 線性性；
2. 有向線段首尾相接，積分值不變（向量加法）；
3. 方向改變，符号相反，即：.

計算

設平面曲線

其中 在上具有一階連續導函數，且，又設與為上的連續函數，則沿從到的第二型曲線積分

二重積分

引入

計算曲頂柱體的體積。

定義

與定積分類似。

性質

1. 線性性；
2. 積分不等式；
3. 積分的絕對值不等式；
4. 若函數在上都可積，且沒有公共内點，則在上也可積，且

5. 若在上可積，且

   則

   這裡為積分區域的面積；

6. （中值定理）若在有界閉域上連續，則存在，使得

   其幾何意義是：以為底，為曲頂的曲頂柱體體積等于一個同底的平頂柱體的體積，此平頂柱體的高等于在區域中某點的函數值.

Green公式

若函數在閉區域上連續，且有連續的一階偏導數，則有

這裡為區域的邊界曲線，并取正方向。

Green公式聯系了第二型曲線積分與二重積分。

曲線積分與路線的無關性

設為單連通區域，若函數在内連續，且具有一階連續偏導數，則下列的四個條件等價：

1. 沿内任一按段光滑封閉曲線有：
2. 對中任一按段光滑曲線，曲線積分與路線無關，隻與起始點的選取有關;
3. 是内某一函數的全微分，即在内有;
4. 在内處處成立

變量替換

直角坐标變換

用于一般的變量替換。

設在有界閉域上可積，變換将平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區域一對一地映成平面上的閉區域，函數在内分别具有一階連續偏導數，且它們的函數行列式

則

極坐标變換

常用于類型出現在被積函數中的情況，利用極坐标變換可以更有效地化簡積分。

設在有界閉域上可積，且在極坐标變換

作用下，平面上有界區域與平面上區域對應，則成立

廣義極坐标變換

則有.

三重積分

引入

對密度函數進行積分，求一個空間立體的品質，就可導出三重積分。

化成累次積分

“先切條，後紮捆”：先對高積分，後對截面積分

若函數在長方體上的三重積分存在，且對任意，存在，則積分也存在，且

推論：

對于上下限可變的情形，可類似得到

此時為在平面上的投影。

“先切面，後疊加”：先對截面積分，後對高積分

若函數在長方體上的三重積分存在，且對任意，二重積分存在，其中，則積分也存在，且

推論(常用)：

若函數在長方體上的三重積分存在，且對任意固定的，積分存在，其中為截面，則積分存在，且

變量替換

一般情況

柱面坐标變換

球坐标變換

廣義球坐标變換

曲面積分

第一型曲面積分

引入

可類比第一型曲線積分，不過此時品質分布在某一曲面塊上而非曲線上。

計算

設有光滑曲面

為上的連續函數，則

第二型曲面積分

曲面的側

通常由所表示的曲面都是雙側曲面，當以其法線正方向與軸正向的夾腳成銳角的一側（上側）為正側時，則另一側（下側）為負側。當為封閉曲面時，正常定曲面外側為正側，内側為負側。

引入

計算流體以以一定的流速從曲面負側向正側流動時産生的流量。

性質

1. 線性性；
2. 積分曲面的加性。

計算

設是定義在光滑曲面上的連續函數，以的上側為正側（這時的法線方向與軸正向成銳角），則有

Gauss公式

建立沿空間閉曲面的曲面積分和三重積分之間的聯系。

定理

設空間區域由分片光滑的雙側封閉曲面圍成。若函數在上連續，且有一階連續偏導數，則

其中取外側。

Stokes公式

建立沿空間雙側曲面的積分與沿其邊界曲線的積分之間的聯系。

右手法則

人沿着曲面邊界前進，左手邊為指定的一側，正向；右手邊為指定的一側，負向。

定理

設光滑曲面的邊界是按段光滑的連續曲線。若函數在(連同)上連續，且有一階連續偏導數，則

其中的側與的方向按右手法則确定。

另一種形式

空間曲線積分與路線的無關性

1. 沿​内任一按段光滑封閉曲線有：
2. 對中任一按段光滑曲線，曲線積分與路線無關;
3. 是内某一函數的全微分，即在内有;
4. 在内處處成立