人們在代數方程根的研究主要由于三個方向：
１>關于根的存在性問題．
2>不求解方程而按照它的系數去探索它的根的一些性質，例如它是否具有實數根，有多少個，幾個正的幾個負的等等問題．
3>關于方程的根的近似計算問題．
第一個問題，由于伽羅瓦的橫空出世而獲得徹底解決，并由此發展出了近世代數和群論用來解決更一般性問題．由于計算機的發展，第三個問題也得到很好解決，牛頓法在例如matlab, octave，python等工具中得到廣泛應用，用這些方法的工具可以很快的解出高次方程的數值解．
關于第二個根分布的問題，在控制科學裡面得到廣泛應用，在控制系統裡面，傳遞函數的根軌迹是控制系統是否穩定的重要依據，現在還依稀記得當時學習自動控制原理的時候，繪制傳遞函數的根軌迹的問題．但當時體會不到和代數方程裡面的聯系原來有這麼深刻，最近看了基本關于這個方向的掃盲書，有些新的，記錄下來，并且嘗試用數形結合的方式說明，這樣更直覺，容易說清楚理論的東西究竟在現實中有什麼意義．
多項式的形式和導數:
對于形如
的多項式，在二維笛卡爾坐标系中用一條曲線表示，參照二次函數的叫法，可以稱為n階抛物線，首先，對于任意實的
,顯然有且僅有一個确定的實數
是以函數圖像可以左右延伸到任意遠的地方，而且
和
随
的變化而連續變化，即沒有跳躍和突變，圖像沒有尖峰，是以
的圖像是光滑的曲線，對于絕對值很大的
來說，第一項
的絕對值大于其餘一切項的和的絕對值，因為他們都具有較低的次數，是以，如果n是偶數，當
時，
的圖像就向左右方的高處無線延伸，
就向低處．
反之，如果n是奇數，則根據
的正負不同，左右兩邊各向對角方向伸展．
所有多項式在定義與域内都可導的．并導數也是一個多項式:
例如對于十次多項式：
其圖像為：
綠色曲線是原多項式，紫色曲線是導數多項式.
不要看到原多曲線有尖峰就斷言它不可導，實際上放大看，在尖峰處，函數圖像斜率并沒有突變，還是很平滑的．根據此圖像，我們可以得到結論：
原多項式有四個實根，兩個正根和兩個負根
導多項式有五個根，兩個負根，三個正根．
實際上不滿足這裡讨論的多項式所有根都是實的條件，是以出現了導多項式實根數大于原多項式的實根數，猜測可能是經過求導運算，高維空間的複數根投影到了三維空間裡面，成了它的一個實數根．:)
多項式的單根和重根：
對于多項式：
如果
是一個根，那麼
一定可以被
多項式整除，更進一步，如果
不能被
整除，那麼
式多項式
的單根，一般的說法，如果多項式
能被
整除，而不能被
那麼，數a叫做多項式的k重根.
例如：
是方程
的2重根,而是方程
的單重根．結論很明顯．
在代數方程上，k重根應當了解為k個相等的根，而不能認為是一個根．這樣了解，就可以很自然的把方程的根數和多項式的次數聯系起來．如果約定沒一個根所算的次數就是它的重數，那由于每一個n次多項式可以分解為n個一次因子的乘積，多項式的根數就等于它的次數．
多項式的導數的根：
有兩條規則：
1.多項式的單根不是它導數的根．
2.多項式的重根是它的導數的根并且重數減１.
設x=a是多項式
的k重根，則下面的
必定不能被
整除.
求導得:
由于
項的存在，
必定不能被
整除．
是以，如果
是多項式方程
的k重根，那麼同樣x=a是
的 k-1重根．
是以，當k＝１和k>1時，上面的兩條結論得到證明．
下面的讨論僅限于方程的一切根都是實根的情況．
多項式的導數的根與原函數的關系:
假如方程的一切根都是實根，則可以應用羅爾定理，下面圖像是方程：
的圖像，它的所有根都是實根．
則根據羅爾定理：
羅爾定理:假設函數
在閉區間
内連續，在開區間
内可導，如果
,那麼在開區間
内至少存在一點
,使得
,也就是說c是
的根．
由于
是以一定存在
其中:
觀察函數圖像，的确是這樣，注意圖像中Extremum(f)的傳回值
由于
僅有６次，而我們已經找到了它的六個根，是以這六個實根是它的全部的根．
最高次７次，有７個實根.
最高次６次，有６個實根．
是以不出意外，後面可以繼續往下寫：
最高次5次，有5個實根．
最高次4次，有4個實根．
最高次3次，有3個實根．
最高次2次，有2個實根．
最高次1次，有1個實根．
是０次，為常數7!．
的圖形（綠色）與
：五個根
的圖形與
：四個根
的圖形與
：三個根
的圖形與
：兩個根
的圖形與
：一次直線，１個根
的圖形與
：常數7!=5040.無根
可見，猜測是對的！
更一般的結論是：
如果實數a與b是實系統多項式的根，那麼在a與b之前有一實數c存在，而且它是導數多項式的根，這是羅爾定理的另一種描述，根據這個定理，可以得到推論，對于多項式
，如果它的一切根都是實的，那麼它的導數的一切根也是實的，在
的相鄰兩根之間有
的一個根，并且是一個單根．
這是因為設
是
的所有根，它們分别具有重數
則必然
根據前面的導數重根的結論，導數有根
且其重數為：
是以一共有
個根，由于
是一次的，按道理應該有
個根，那還差
個根，這些根從哪裡來呢？很顯然，再一次應用羅爾定理，還有至少有根
分别在
相鄰兩根的區間：
裡面．這樣，總根數:
．
滿足代數基本定理根個數等于次數的條件，是以我們找到了所有的根，所有根都是實數，且除了重根外，其餘單k-1個單根分布在k-1個區間裡面，根據抽屜原理，每個區間最多隻有一個，不可能有多個，所有有且僅有的條件也得到證明，反映到幾何上就是這樣的，多項式函數和實軸的兩個交點（兩個解)之間的圖形，隻能有一個局部極值，通俗點，兩個零點之間的函數圖形，隻能有一個山包，或者一個山谷，不可能有兩個谷或者兩個包。
用圖形表示如下：
進一步，根據羅爾定理，不但可以确定導函數多項式根的個數，還可以據此判斷正根的個數，如果多項式
的一切根都是實的，并且其中有p個是正的，那麼
有p個或者p-1個正根．
實際上，設:
是多項是f(x)的一切正根，它們分别具有重數
則：
導數
将具有這些正根:
,分别具有重數
， 和
，分别位于區間
内，是單根，另外，還有可能有一個單根
位于區間
之内，此處
是f(x)最大的負根或者０根．是以，
正根數應該是:
或者
後者是考慮到
的存在．
比如，下圖原函數正根數有四個，導函數正根數有三個．注意
沒有到正軸這邊來．
實際上，通過微調多項式系數，可以将
調整為正的，如下圖，将
從上圖中的0.8調整到下圖中的0.4,會發現
變成了正的，這樣，導數多項式的正跟數從三個變成四個了，和原函數的正根數目相同，是以上面的結論得到實踐證明．
正根的規律讨論清楚了，負根自然也就清楚了，他們的和等于多項式次數．
如果是從事控制系統相關的專業和行業，應該對控制系統的根軌迹方法很熟悉，實際上，跟軌迹法的本質就是求解代數方程根的分布問題，舉個例子,對于如下的控制系統:
開環傳遞函數是:
傳遞框圖:
那麼它的閉環傳遞函數為:
特征多項式:
令
則:
則Ｍ曲面方程是:
其圖像為:
K=0:
K=5.5
K=6.4
随着開環增益K的變化，Ｍ曲面在複平面上掃過的軌迹就是根軌迹，和經典畫法畫出來的是一緻的。
kaihuanfenzi=[1,2];
kaihuanfenmu=[1,2,2];
sys=tf(kaihuanfenzi,kaihuanfenmu);
rlocus(sys);
axis([-8 2 -2 2]);